Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học | Lý thuyết & bài tập

Mệnh đề là mảng kiến thức khá đơn giản nhưng ảnh hưởng rất nhiều đến các định hướng logic trong toán học. Ở bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn tìm hiểu cách áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học thông qua một số điểm lý thuyết và bài tập.

1. Kiến thức mệnh đề cơ bản

1. Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Mệnh mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. Kí hiệu các mệnh để bởi các chữ in hoa \[A\], \[B\], \[C\]…

2. Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề \[{\bf{P}}\] là \[\overline P \], ta có: \[\overline P \] đúng khi \[P\] sai và \[\overline P \] sai khi \[{\bf{P}}\] đúng.

3. Một khẳng định chứa biến \[p\left( x \right)\] không phải là một mệnh đề, nhưng với mỗi giá trị của biến x (thuộc một tập x nào đó) ta được một mệnh đề.

4. Kiến thức mệnh đề kéo theo

  • Mệnh đề “Nếu \[P\] thì \[Q\]” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu: \[P \Rightarrow Q\].
  • Với \[P\] là một mệnh đề đúng thì:

Nếu \[Q\] dúng thì \[P \Rightarrow Q\] đúng

Nếu \[Q\] sai thì \[P \Rightarrow Q\] sai

→ Các định lí toán học thường là những mệnh đề có dạng \[P \Rightarrow Q\]. Khi đó ta nói: \[P\] là giả thiết còn \[Q\] là kết luận của định lí, hoặc \[P\] là điều kiện đủ để có \[Q\] Hoặc \[Q\] là điều kiện cần để có \[P\]. Kiến thức này thường xuyên áp dụng ở hình học hoặc các bài toán chứng minh đại số

5. Lý thuyết về mệnh đề đảo

  • Mệnh đề \[Q \Rightarrow P\] được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \[P \Rightarrow Q\].
  • Nếu cả hai mệnh đề \[P \Rightarrow Q\] và \[Q \Rightarrow P\] đều đúng thì ta nói \[{\bf{P}}\] và \[Q\] là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí hiệu \[P \Leftrightarrow Q\] và đọc là \[{\bf{P}}\] tương đương \[Q\], hoặc \[{\bf{P}}\] là điều kiện cần và đủ để có \[Q\], hoặc \[{\bf{P}}\] khi và chỉ khi \[Q\].

6. Kí hiệu \[\forall \] đọc là “với mọi”. Mệnh đề \[x \in X:p\left( x \right)\] là đúng có nghĩa là: với mọi \[x\] thuộc tập \[x\] mệnh dề \[p\left( x \right)\]là đúng.

7. Kí hiệu \[\exists \] đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một).

2. Bài tập áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Câu 1. Hãy phát biểu phủ định của các mệnh đề sau và xét đúng sai của các phủ định này

a) x = 2 là nghiệm của phương trình \[{x^4} – 3{x^3} + 4{x^2} – 6 = 0\]

b) Hình bình hành không phải là hình tứ giác.

c) \[\exists x \in R,\forall y \in {\rm{R}}:3x – 5 + 2y = y\].

d) \[\exists x \in \left( {0;5} \right):\left( {x – 6} \right)\left( {{x^2} + 4x – 5} \right) = 0\]

e) \[3 – \sqrt 2 \] là số hữu tỉ.

Câu 2. Lập các mệnh đề \[P \Rightarrow Q\] và mệnh đề đảo của mệnh đề đó, xét tính đúng sai của chúng trong các trường hợp sau.

a) \[P\] = “Tứ giác là hình thoi”, \[Q\] = “Tứ giác là hình bình hành”

b) \[P\] = “Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt” ; \[Q\] = “Phương trình bậc hai có biệt thức đương”.

Câu 3. Cho tập hợp \[A = \{ a,b,c,d\} \]

a) Hãy tìm tất cả các tập con của \[A\]. Chúng có bao nhiêu?

b) Hây tìm \[{C_A}B\], trong đó \[B = \{ b,{\rm{ }}c\} \].

Câu 4. Xác định các tập số sau và biểu diễn chúng trên trục số:

a) \[{R_ + }\backslash \left[ { – 1;7} \right]\];

b) \[\left( { – 8;10} \right) \cap \left[ {7;12} \right] \cap \left[ { – 4;8} \right]\]

c) \[\left( { – 2;10} \right) \cup \left( {4;11} \right) \cup \left( {13;14} \right)\];

d) \[\left( { – 1;3} \right) \cup \left[ { – 4;8} \right)\]

Câu 5. Cho số gần đúng \[a = 43.0416382\] với độ chính xác 1.5

a) Xác định các chữ số chắc của \[a\].

b) Viết \[a\] dưới dạng chuẩn.

c) Ước lượng sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Câu 6. Khi đo một ngôi nhà cao tầng ta được số gần đúng \[a = 342,53 + 0.12\] (m). Ta ước luợng sai số tuyệt đối và sai số tương đối của \[a\].

Câu 7. Đổi \[{47_8}\] sang hệ nhị phân

Câu 8. Thực hiện các phép tính sau ở hệ nhị phân và kiểm tra lại ở hệ thập phân.

a) \[1111111 + 11011\];

b) \[10111×1101\].

Đáp án

Câu 1.

a) \[x = – 2\] không phải là nghiệm của phương trình \[{x^4} – 3{x^3} + 4{x^2} – 6 = 0\]

Mệnh đề này đúng.

b) Hình bình hành là hình tứ giác. Mệnh đề đúng.

c) \[\forall x \in R,\exists y \in {\rm{R}}:3x – 5 + 2y \ne y\]. Mệnh đề đúng.

d) \[\forall x \in \left( {0;5} \right):\left( {x – 6} \right)\left( {{x^2} + 4x – 5} \right) \ne 0\]. Mệnh đề

e) \[3 – \sqrt 2 \] là số vô tỉ. Mệnh đề đú

Câu 2.

a) \[P \Rightarrow Q\]= “Nếu tứ giác là hình thoi thì nó là hình bình hành” Mệnh đề đủ \[Q \Rightarrow P\] “Nếu tứ giác là hình bình hành thì nó là hình thoi”. Mệnh đề sai.

b) \[P \Rightarrow Q\]= “Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì nó có 1 nghiệm thức dương”. Mệnh đề này đúng.

\[Q \Rightarrow P\] = “Nếu phương trình bậc hai có biệt thức dương thì nó có hai nghiệm phân biệt “. Mệnh đề đúng.

Câu 3.

a) Có 16 tập con (tự liệt kê) ;

b) \[{C_A}B = \left\{ {a,d} \right\}\]

Câu 4. 

a) \[{R_ + }\backslash \left[ { – 1;7} \right] = \left[ {7; + \infty } \right)\];

b) \[\left( { – 8;10} \right) \cap \left[ {7;12} \right] \cap \left[ { – 4;8} \right] = \left[ {7;8} \right)\]

c) \[\left( { – 2;10} \right) \cup \left( {4;11} \right) \cup \left( {13;14} \right) = \left( { – 2;11} \right) \cup \left( {13;14} \right)\]

d) \[\left( { – 1;3} \right) \cup \left[ { – 4;8} \right)\] (HS tự biểu diễn trên trục số).

Câu 5. 

a) Số \[a\] có một chữ số chắc là: \[4\]

b) Dưới dang chuẩn \[a = 40\];

c) \[{\Delta _a} \le 1,5\] và \[\delta \left( a \right) \le 3,485\% \].

Câu 6. \[{\Delta _a} \le 0,12\] và \[\delta \left( a \right) \le 0,04\% \]

Câu 7. Đổi 478=39=1001112

Câu 8.

a) Ở hệ đếm nhị phân có kết qua: \[10011010\]. Kiểm tra ở hệ thập phân \[127 + 27 = 154\] (đúng).

b) Trong hệ nhị phân ta cơ kết quả \[100101011\]. Kiểm tra ở hệ thập phân: \[2.13 = 299\] (đúng).

3. Bài viết liên quan

Xem thêm một số bài học trong chương trình toán 10Mệnh đề toán 10Bài tập mệnh đề và tập hợp có đáp ánCác phép toán tập hợpSố gần đúng và sai số 

Ở bài viết này, VerbaLearn Math vừa giúp bạn đọc tìm hiểu một số phương pháp và cách áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học. Nếu có bất kì câu hỏi nào cần giải đáp bạn đọc có thể để lại lời nhắn ở ngay dưới bài viết này nhé.

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.