Hàm số bậc hai | Lý thuyết, đồ thị & cách khảo sát

Sau khi nắm vững kiến thức hàm số bậc nhất, ở bài học hôm nay, VerbaLearn sẽ giúp các bạn học sinh tìm hiểu các vấn đề liên quan của hàm số bậc hai – Một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng trong chuyên đề khảo sát hàm số.

1. Lý thuyết hàm số bậc hai \[y = a{x^2} + bx + c,a \ne 0\]

+) Tập xác định \[D = R\]

+) Đồ thị của hàm số là một arabol có đỉnh là điểm \[I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\], có trục đối xứng là đường thẳng \[x =  – \frac{b}{{2a}}\]

+) Parabol có bề lõm quay lên trên nếu \[a > 0\] và quay xuống nếu \[a < 0\].

Đồ thị hàm số bậc hai

Bảng biến thiên

Bảng biến thiên hàm số bậc hai

+) Định lí về dấu:

– Nếu \[a > 0\] thì hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\]

– Nếu \[a < 0\] thì hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\]

2. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai

Để vẽ đường parabol \[y = a{x^2} + bx + c\], \[a \ne 0\], ta thực hiện các bước sau:

+) Xác định toạ độ đỉnh là điểm \[I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\]

+) Vẽ trục đối xứng d là đường thẳng \[{x =  – \frac{b}{{2a}}}\]

+) Xác định giao diểm của parabol với các trục toạ độ (nếu có). Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị. Chẳng hạn, điểm đối xứng với giao điểm của đồ thị với trục tung qua trục đối xứng của parabol.

+) Vẽ parabol, dựa vào các kết quả trên, chú ý bề lõm của đồ thị khi \[a > 0,a < 0\].

3. Bài tập hàm số bậc hai

Bài 1.  Xác định toạ độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol

a) \[y = 2{x^2} – x – 2\]

b) \[y = – 2{x^2} + 4x – 3\]

c) \[y = {x^2} – 2x\]

d) \[y = – {x^2} + 4\]

e) \[y = – \frac{1}{2}{x^2} + 2x + 1\]

d) \[y = – 2{x^2} – x + 2\]

HD Giải

a) Ta có a\[ a = 2,b = – 1,c = – 2\]. \[\Delta  = 17\]

Trục đối xứng \[x =  – \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{4}\]; đỉnh \[I\left( {\frac{1}{4}; – \frac{{17}}{8}} \right)\], parabol cắt trục tung tại điểm \[A\left( {0;2} \right)\]

Để tìm giao điểm với trục hoành ta giải phương trình \[2{x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{4}\], parabol cắt trục hoành tại \[B\left( {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{4};0} \right)\]; \[C\left( {\frac{{1 – \sqrt {17} }}{4};0} \right)\]

b) Trục đối xứng \[x = – \frac{b}{{2a}} = 1\], đỉnh \[I\left( {1; – 1} \right)\], giao điểm với trục tung \[A\left( {0; – 3} \right)\]. Không có giao điểm với trục hoành

c) Trục đối xứng \[x = – \frac{b}{{2a}} = 1\], đỉnh \[I\left( {1; – 1} \right)\], giao điểm với trục tung \[O\left( {0;0} \right)\], cắt trục hoành tại \[O\left( {0;0} \right)\], \[A\left( {2;0} \right)\]

d), e), f) thực hiện giải tương tự

Bài 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) \[y = – {x^2} + 2x – 2\]

b) \[y = 2{x^2} + 6x + 3\]

c) \[y = 3{x^2} – 2x – 1\]

d) \[y = – 3{x^2} + 2x – 1\]

e) \[y = – {x^2} + 4x – 4\]

f) \[y = 2{x^2} + x + 1\]

HD Giải

a) \[y = – {x^2} + 2x – 2\], có \[a = – 1,b = 2,c =  – 2\].

Toạ độ đỉnh \[I\left( {1; – 1} \right)\]. Trục đối xứng \[x =  – \frac{b}{{2a}} = 1\], \[a < 0\] bề lõm hướng quay xuống.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\]

Điểm đặc biệt \[A\left( {0; – 2} \right),A’\left( {2; – 2} \right)\]

Đồ thị:

b) \[y = 2{x^2} + 6x + 3\]

Toạ độ đỉnh \[I\left( { – \frac{3}{2}; – \frac{3}{2}} \right)\]. Trục đối xứng \[x =  – \frac{b}{{2a}} =  – \frac{3}{2}\], \[a > 0\] nên bề lõm quay lên trên

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – \frac{3}{2}} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { – \frac{3}{2}; + \infty } \right)\]

Điểm đặc biệt \[A\left( {0;3} \right),A’\left( { – 3;3} \right)\]

Đồ thị:

Đồ thị c), d), e), f) thực hiện giải tương tự.

Bài 3. Xác định parabol \[y = a{x^2} + bx + 2\], biết parabol đó

a) Đi qua hai điểm \[A\left( {1;5} \right),B\left( { – 3;8} \right)\]

b) Đi qua điểm \[C\left( {3; – 4} \right)\] và có trục đối xứng \[x = – \frac{3}{2}\]

c) Có đỉnh \[I\left( {2; – 2} \right)\]

d) Đi qua điểm \[D\left( { – 1;6} \right)\] và có tung độ đỉnh là \[ – \frac{1}{4}\]

HD Giải

a) Parabol đi qua hai điểm \[A\] và \[B\], nên ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + 2 = 5\\4a – 2b + 2 = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\]. Vậy \[y = 2{x^2} + x + 2\]

b) Từ giả thiết, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + 2 =  – 4\\ – \frac{b}{{2a}} =  – \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  – \frac{1}{3}\\b =  – 1\end{array} \right.\].Vậy \[y =  – \frac{1}{3}{x^2} – x + 2\]

c) Từ giả thiết, ta có \[\left\{ \begin{array}{l} – \frac{b}{{2a}} = 2\\ – \frac{\Delta }{{4a}} =  – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  – 4a\\8a = {b^2} =  – 8a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  – 4\end{array} \right.\].Vậy \[y =  – {x^2} – 4x + 2\]

d) Từ giả thiết, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a – b + 2 = 6\\ – \frac{\Delta }{{4a}} =  – \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a – b = 4\\8a – {b^2} =  – a\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  – 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 12\end{array} \right.\end{array} \right.\].

Vậy \[y = {x^2} – 3x + 2\] hoặc Vậy \[y = 16{x^2} + 12x + 2\]

Bài 4. Cho parabol \[\left( P \right):y =  – {x^2} + 6x – 5\]

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên

b) Dùng đồ thị, hãy biện luận theo m số điểm chung của \[\left( P \right)\] và đường thẳng \[\left( d \right):y = m\]

HD Giải

a) \[y = – {x^2} + 6x – 5\],có \[a = – 1,b = 6,c =  – 5\].

Toạ độ đỉnh \[I\left( {3;4} \right)\]. Trục đối xứng \[x =  – \frac{b}{{2a}} = 3\] \[a < 0\] bề lõm hướng quay xuống.

Bảng biến thiên.

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;3} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( {3; + \infty } \right)\]

Đồ thị:

Điểm đặc biệt

\[A\left( {0; – 5} \right),A’\left( {6; – 5} \right),B\left( {1;0} \right),C\left( {5;0} \right)\]

b) Đường thẳng \[y = m\] là đường thẳng song song với trục hoành. Do đó, dựa vào đồ thị ta có

\[m > 4\] thì parabol \[\left( P \right)\] và đường thẳng \[\left( d \right)\] không có điểm chung

\[m – 4\] thì parabol \[\left( P \right)\] và đường thẳng \[\left( d \right)\] có một điểm chung là đỉnh \[I\left( {3;4} \right)\]

\[m < 4\] thì parabol \[\left( P \right)\] và đường thẳng \[\left( d \right)\] có hai điểm chung

Bài 5. Cho hàm số \[y =  – {x^2} + 4x – 3\]

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên

b) Dựa vào đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương.

c) Dựa vào đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm.

HD Giải

a) \[y = – {x^2} + 4x – 3\], có \[a = – 1,b = 4,c =  – 3\].

Toạ độ đỉnh \[I\left( {2;1} \right)\]. Trục đối xứng \[x =  – \frac{b}{{2a}} = 2\] bề lõm hướng quay xuống.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;2} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\]

Điểm đặc biệt \[A\left( {0; – 3} \right),A’\left( {4; – 2} \right),B\left( {1;0} \right),C\left( {3;0} \right)\]

Từ đồ thị, ta thấy:

b) Hàm số chỉ nhận giá trị dương nếu \[x \in \left( {1;3} \right)\]

c) Hàm số chỉ nhận giá trị âm nếu \[x \in \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\]

Bài 6. Cho \[\left( P \right):y = {x^2} – 2\left| x \right| + 1\]

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[\left( P \right)\]

b) Dùng đồ thị, hãy biện luận theo \[m\] số điểm chung của \[\left( P \right)\] và đường thẳng \[\left( d \right):y = m\]

HD Giải

a) Tập xác định của hàm số là \[D = R\]. Ngoài ra \[f\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^2} – 2\left| { – x} \right| + 1 = {x^2} – 2\left| x \right| + 1 = f\left( x \right)\], hàm số là hàm số chẵn.

Đồ thị của nó nhận trục tung là trục đối xứng. Để xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của nó chỉ cần xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị của nó trên nửa khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right)\], rồi lấy đối xứng qua trục \[Oy\]. Với \[x \ge 0\], có \[y = f\left( x \right){x^2} – 2x + 1\]

Bảng biến thiên:

b) Từ đồ thị, ta thấy: \[m > 1\] thì đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt parabol \[\left( P \right)\] tại hai điểm

– \[m = 1\] thì đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt parabol \[\left( P \right)\] tại ba điểm

– \[0 < m < 1\] thì đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt parabol \[\left( P \right)\] tại bốn điểm

– \[m = 0\] thì đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt parabol \[\left( P \right)\] tại hai điểm

4. Bài tập trắc nghiệm hàm số bậc hai

Câu 1. Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. \[a < 0,b < 0,c > 0\].

B. \[a > 0,b < 0,c > 0\].

C. \[a > 0,b > 0,c > 0\].

D. \[a > 0,b < 0,c < 0\].

Câu 2. Cho hàm số \[f(x) = a{x^2} + bx + c\] có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình \[f(x) – 1 = m\] có đúng hai nghiệm.

A. \[m \ge – 1\]

B. \[m > – 1\].

C. \[m > 0\].

D. \[m > – 2\].

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất \[{y_{max}}\] của hàm số \[y =  – \sqrt 2 {x^2} + 4x\].

A. \[{y_{max}} = \sqrt 2 \].

B. \[{y_{max}} = 2\sqrt 2 \].

C. \[{y_{max}} = 2\].

D. \[{y_{max}} = 4\].

Câu 4. Cho parabol \[(P):y = {x^2} – 2x + m – 1\]. Tìm tất cả các giá trị thực của \[m\]  để parabol cắt \[Ox\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

A. \[m < 1\].

B. \[m < 2\].

C. \[m > 2\].

D. \[1 < m < 2\].

Câu 5. Parabol \[(P):y = {x^2} + 4x + 4\] có số điểm chung với trục hoành là

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất \[M\] và giá trị nhỏ nhất \[m\] của hàm số \[y = f(x) = {x^2} – 4x + 3\] trên đoạn \[\left[ { – 2;1} \right]\].

A. \[M = 15;m = 1\]

B. \[M = 15;m = 0\].

C. \[M = 1;m = – 2\].

D. \[M = 0;m = – 15\].

Câu 7. Xác định parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\], biết rằng \[\left( P \right)\] đi qua ba điểm \[A(1;1),B( – 1; – 3)\] và \[O(0;0)\].

A. \[y = – {x^2} + 2x\].

B. \[y = {x^2} – 2x\].

C. \[y = {x^2} + 2x\].

D. \[y = – {x^2} – 2x\].

Câu 8. Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. \[a < 0,b < 0,c > 0\].

B. \[a < 0,b < 0,c < 0\].

C. \[a < 0,b > 0,c > 0\].

D. \[a > 0,b < 0,c > 0\].

Câu 9. Tìm giá trị thực của tham số \[m\] để parabol \[\left( P \right):y = m{x^2} – 2mz – 3m – 2\] có đỉnh thuộc đường thẳng \[y = 3x – 1\].

A. \[m = – 6\].

B. \[m = 6\].

C. \[m = 1\].

D. \[m = – 1\].

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để đường thẳng \[d:y = mx\] cắt đồ thị hàm số \[\left( P \right):y = {x^3} – 6{x^2} + 9x\] tại ba điểm phân biệt.

A. \[m > 18\].

B. \[m > 0\] và \[m \ne 9\].

C. \[m > 0\].

D. \[m <18\] và \[m \ne 9\].

Câu 11. Biết rằng hàm số \[y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[4\] tại \[x = 2\] và có đồ thị hàm số đi qua điểm \[A(0;6)\]. Tính tích \[P = abc\]

A. \[P = \frac{3}{2}\]

B. \[P = – 6\].

C. \[P = 6\].

D. \[P = – 3\].

Câu 12. Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. \[{a < 0,b > 0,c < 0}\].

B. \[{a < 0,b > 0,c > 0}\].

C. \[{a > 0,b > 0,c < 0}\].

D. \[{a > 0,b < 0,c > 0}\].

Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất \[M\] và giá trị nhỏ nhất \[m\] của hàm số \[y = f(x) = {x^2} – 3x\]  trên đoạn \[\left[ {0;2} \right]\].

A. \[M = 2;m = – \frac{9}{4}\]

B. \[M = – \frac{9}{4};m = 0\]

C. \[M = – 2;m = – \frac{9}{4}\]

D. \[M = 0;m = – \frac{9}{4}\]

Câu 14. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. \[{y = – 3{x^2} – 6x}\].

B. \[{y = 3{x^2} + 6x + 1}\].

C. \[{y = {x^2} + 2x + 1}\].

D. \[{y = – {x^2} – 2x + 1}\].

Câu 15. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\]?

A. \[{y = – \sqrt 2 {{(x + 1)}^2}}\].

B. \[{y = – \sqrt 2 {x^2} + 1}\].

C. \[{y = \sqrt 2 {{(x + 1)}^2}.}\].

D. \[{y = \sqrt 2 {x^2} + 1}\].

Câu 16. Giao điểm của hai parabol \[y = {x^2} – 4\] và \[y = 14 – {x^2}\] là:

A. \[\left( {3;5} \right)\] và \[\left( { – 3;5} \right)\].

B. \[\left( {\sqrt {18} ;14} \right)\] và \[\left( { – \sqrt {18} ;14} \right)\].

C. \[\left( {2;10} \right)\] và \[\left( { – 2;10} \right)\].

D. \[\left( {\sqrt {14} ;10} \right)\] và \[\left( { – \sqrt {14} ;10} \right)\].

Câu 17. Cho hàm số \[f(x) = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \[f(x) + m – 2018 = 0\] có duy nhất một nghiệm.

A. \[{m = 2015}\].

B. \[{m = 2016}\].

C. \[{m = 2017}\].

D. \[{m = 2019}\].

Câu 18. Hàm số nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh \[I\left( { – 1;3} \right)\]?

A. \[{y = 2{x^2} – 4x – 3}\].

B. \[{y = 2{x^2} – 2x – 1}\].

C. \[{y = 2{x^2} + 4x + 5}\].

D. \[{y = 2{x^2} + x + 2}\].

Câu 19. Cho parabol \[(P):y = {x^2} – 4x + 3\] và đường thẳng \[d:y = mx + 3\]. Tìm giá trị thực của tham số \[m\] để \[d\] cắt \[(P)\] tại hai điểm phân biệt \[A,B\] có hoành độ \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^3 + x_2^3 = 8\].

A. Không có \[m\].

B. \[{m = – 2}\].

C. \[{m = 4}\].

D. \[{m = 2}\].

Câu 20. Hàm số nào sau đây đạt giá trị nhỏ nhất tại \[x = \frac{3}{4}\]?

A. \[y = {x^2} – \frac{3}{2}x + 1\].

B. \[y = 4{x^2} – 3x + 1\].

C. \[y = – {x^2} + \frac{3}{2}x + 1\].

D. \[y = – 2{x^2} + 3x + 1\].

Câu 21. Cho parabol \[(P):y = a{x^2} + bx + c\], biết rằng \[\left( P \right)\] đi qua \[M\left( { – 5;6} \right)\] và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[ – 2\]. Hệ thức nào sau đây đúng?

A. \[{a = 6b}\].

B. \[{25a – 5b = 8}\].

C. \[{b = – 6a}\].

D. \[{25a + 5b = 8}\].

Câu 22. Cho parabol \[(P):y = {x^2} – 2x + m – 1\]. Tìm tất cả các giá trị thực của \[m\] để parabol không cắt \[Ox\].

A. \[{m \le 2}\].

B. \[{m < 2}\].

C. \[{m > 2}\].

D. \[{m \ge 2}\].

Câu 23. Xác định parabol \[(P):y = a{x^2} + bx + c\], biết rằng \[(P)\] có đỉnh \[I\left( { – 2; – 1} \right)\] và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[ – 3\].

A. \[y = – {x^2} – 2x – 3\].

B. \[y = {x^2} – 2x – 3\].

C. \[y = – \frac{1}{2}{x^2} – 2x – 3\]

D. \[y = \frac{1}{2}{x^2} – 2x – 3\]

Câu 24. Biết rằng hàm số \[y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\] đạt giá trị lớn nhất bằng 1 \[\frac{1}{4}\] tại \[x = \frac{3}{2}\] và tổng lập phương các nghiệm của phương trình \[y = 0\]  bằng 9. Tính \[P = abc\].

A. \[{P = – 6.}\].

B. \[{P = 0}\].

C. \[{P = 6}\].

D. \[{P = 7}\].

Câu 25. Cho hàm số \[y =  – {x^2} + 4x + 1\]. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Trên khoảng \[\left( {3; + \infty } \right)\] hàm số nghịch biến.

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;2} \right)\].

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {4; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;4} \right)\].

D. Trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] hàm số đồng biến.

Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của hàm số \[y = {x^2} – 4x + 5\].

A. \[{{y_{min}} = 1}\].

B. \[{{y_{min}} = 0}\].

C. \[{{y_{min}} = – 2}\].

D. \[{{y_{min}} = 2}\].

Câu 27. Tìm parabol \[(P):y = a{x^2} + 3x – 2\], biết rằng parabol có đỉnh \[I\left( { – \frac{1}{2}; – \frac{{11}}{4}} \right)\]

A. \[{y = {x^2} + 3x – 2}\].

B. \[{y = {x^2} + x – 4}\].

C. \[{y = 3{x^2} + x – 1}\].

D. \[{y = 3{x^2} + 3x – 2.}\].

Câu 28. Tìm giá trị thực của \[m\] để phương trình \[\left| {2{x^2} – 3x + 2} \right| = 5m – 8x – 2{x^2}\] có nghiệm duy nhất.

A. \[m = \frac{7}{{40}}\]

B. \[m = \frac{2}{5}\]

C. \[m = \frac{{107}}{{80}}\]

D. \[m = \frac{7}{{80}}\]

Câu 29. Xác định parabol \[(P):y = a{x^2} + bx + 2\], biết rằng \[(P)\] đi qua hai điểm \[M\left( {1;5} \right)\] và \[N\left( { – 2;8} \right)\].

A. \[{y = – 2{x^2} – x + 2}\].

B. \[{y = 2{x^2} + x + 2}\].

C. \[{y = {x^2} + x + 2}\].

D. \[{y = – 2{x^2} + x + 2}\].

Câu 30. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án \[A,B,C,D\] sau đây?

A. \[{y = {x^2} – 4x – 5}\].

B. \[{y = {x^2} – 4x – 1}\].

C. \[{y = – {x^2} + 4x}\].

D. \[{y = – {x^2} + 4x – 9}\].

Câu 31. Đỉnh của parabol \[\left( P \right):y = 3{x^2} – 2x + 1\] là

A. \[I\left( {\frac{1}{3}; – \frac{2}{3}} \right)\]

B. \[I\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\]

C. \[I\left( { – \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\]

D. \[I\left( { – \frac{1}{3}; – \frac{2}{3}} \right)\]

Câu 32. Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2} – 4x + 3\] và đường thẳng \[d:y = mx + 3\]. Tìm tất cả các giá trị thực của \[m\] để \[d\] cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt \[A,B\] sao cho diện tích tam giác \[OAB\] bằng \[\frac{9}{2}\].

A. \[{m = – 1}\].

B. \[{m = 7}\].

C. \[{m = – 7}\].

D. \[{m = – 1,m = – 7}\].

Câu 33. Trục đối xứng của parabol \[\left( P \right):y = 2{x^2} + 6x + 3\] là

A. \[y = – 3\].

B. \[x = – \frac{3}{2}\]

C. \[y = – \frac{3}{2}\]

D. \[x = – 3\].

Câu 34. Xác định parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\], biết rằng \[\left( P \right)\] cắt trục \[{\rm{Ox}}\] tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \[{\rm{ – 1}}\] và \[{\rm{ 2}}\] , cắt trục \[Oy\] tại điểm có tung độ bằng \[ – 2\].

A. \[y = \frac{1}{2}{x^2} + x – 2\]

B. \[y = {x^2} – x – 2\].

C. \[y = – 2{x^2} + x – 2\].

D. \[y = – {x^2} + x – 2\].

Câu 35. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. \[{y = 2{x^2} – 3x + 1}\].

B. \[{y = {x^2} – 3x + 1}\].

C. \[{y = – {x^2} + 3x – 1}\].

D. \[{y = – 2{x^2} + 3x – 1}\].

Câu 36. Xác định parabol \[\left( P \right):y = 2{x^2} + bx + c\], biết rằng \[\left( P \right)\] có đỉnh \[I\left( { – 1; – 2} \right)\]

A. \[{y = 2{x^2} – 4x + 4}\].

B. \[{y = 2{x^2} – 4x}\].

C. \[{y = 2{x^2} – 3x + 4}\].

D. \[{y = 2{x^2} + 4x}\].

Câu 37. Tọa độ giao điểm của \[\left( P \right):y = {x^2} – 4x\] với đường thẳng \[d:y =  – x – 2\] là

A. \[{M( – 3;1),N(3; – 5)}\].

B. \[{M(1; – 3),N(2; – 4)}\].

C. \[{M(0; – 2),N(2; – 4)}\].

D. \[{M( – 1; – 1),N( – 2;0).}\].

Câu 38. Xác định parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\], biết rằng \[\left( P \right)\] có đỉnh thuộc trục hoành và đi qua hai điểm \[M\left( {0;1} \right),N\left( {2;1} \right)\].

A. \[{y = {x^2} + 3x + 1}\].

B. \[{y = {x^2} – 3x + 1}\].

C. \[{y = {x^2} + 2x + 1}\].

D. \[{y = {x^2} – 2x + 1}\].

Câu 39. Gọi \[A\left( {a;b} \right)\] và \[B\left( {c;d} \right)\] là tọa độ giao điểm của \[\left( P \right):y = 2x – {x^2}\] và \[\Delta :y = 3x – 6\]. Giá trị \[b + d\]d bằng :

A. 15.

B. 15.

C. 7.

D. 7.

Câu 40. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. \[y = – {x^2} + \frac{1}{2}x + 3\].

B. \[{y = – 2{x^2} + x + 3}\].

C. \[{y = {x^2} + x + 3}\].

D. \[{y = – 2{x^2} + x – 1}\].

Câu 41. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\]?

A. \[{y = \sqrt 2 {{(x + 1)}^2}}\].

B. \[{y = – \sqrt 2 {{(x + 1)}^2}}\].

C. \[{y = \sqrt 2 {x^2} + 1}\].

D. \[{y = – \sqrt 2 {x^2} + 1}\].

Câu 42. Tìm parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + 3x – 2\], biết rằng parabol có trục đối xứng \[x =  – 3\].

A. \[y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x – 3\]

B. \[y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x – 2\]

C. \[y = {x^2} + 3x – 2\].

D. \[y = \frac{1}{2}{x^2} + x – 2\]

Câu 43. Gọi \[S\] là tập hợp các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2} – 4x + m\] cắt \[{\rm{Ox}}\] tại hai điểm phân biệt \[{\rm{A,B}}\] thỏa mãn \[{\rm{OA = 3OB}}\]. Tính tổng \[T\] các phần tử của \[S\].

A. \[T = – 9\].

B. \[T = – 15\].

C. \[T = \frac{3}{2}\]

D. \[T = 3\].

Câu 44. Cho parabol \[(P):y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\]. Xét dấu hệ số \[a\] và biệt thức \[\Delta \] khi \[\left( P \right)\] hoàn toàn nằm phía trên trục hoành.

A. \[{a > 0,\Delta > 0}\].

B. \[{a > 0,\Delta < 0}\].

C. \[{a < 0,\Delta < 0}\].

D. \[{a < 0,\Delta > 0}\].

Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của \[m\] để phương trình \[{x^4} – 2{x^2} + 3 – m = 0\] có nghiệm.

A. \[{m \ge – 2}\].

B. \[{m \ge – 3}\].

C. \[{m \ge 2}\].

D. \[{m \ge 3}\].

Câu 46. Đường thẳng nào sau đây tiếp xúc với \[\left( P \right):y = 2{x^2} – 5x + 3\]?

A. \[{y = – x + 1}\].

B. \[{y = – x – 1}\].

C. \[{y = x + 3}\]

D. \[{y = x + 2}\].

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình \[{x^2} – 5x + 7 + 2m = 0\]có nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {1;5} \right]\].

A. \[3 \le m \le 7\].

B. \[\frac{3}{8} \le m \le \frac{7}{2}\]

C. \[\frac{3}{4} \le m \le 7\]

D. \[ – \frac{7}{2} \le m \le – \frac{3}{8}\]

Câu 48. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. \[y = {x^2} – 2x + \frac{3}{2}\]

B. \[y = – \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{5}{2}\]

C. \[y = {x^2} – 2x\].

D. \[y = – \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{3}{2}\]

Câu 49. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị nhận đường \[x = 1\] làm trục đối xứng?

A. \[{y = {x^2} – x + 2}\].

B. \[{y = 2{x^2} + 4x – 3}\].

C. \[{y = 2{x^2} – 2x – 1}\].

D. \[{y = – 2{x^2} + 4x + 1}\].

Câu 50. Cho parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\]. Xét dấu hệ số \[a\] và biệt thức \[\Delta \] khi cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía trên trục hoành.

A. \[{a > 0,\Delta > 0}\].

B. \[{a > 0,\Delta < 0}\].

C. \[{a < 0,\Delta < 0}\].

D. \[{a < 0,\Delta > 0}\].

Câu 51. Biết rằng \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\], đi qua điểm \[A\left( {2;3} \right)\] và có đỉnh \[I\left( {1;2} \right)\]. Tính tổng \[S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\].

A. \[{S = 14}\].

B. \[{S = 2}\].

C. \[{S = 4}\].

D. \[{S = 6}\].

Câu 52. Bảng biến thiên của hàm số \[y =  – 2{x^2} + 4x + 1\] là bảng nào trong các bảng được cho sau đây?

Câu 53. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số b để đồ thị hàm số \[y =  – 3{x^2} + bx – 3\] cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

A. \[ – 3 < b < 3\].

B. \[\left[ \begin{array}{l}b <  – 6\\b > 6\end{array} \right.\]

C. \[ – 6 < b < 6\].

D. \[\left[ \begin{array}{l}b <  – 3\\b > 3\end{array} \right.\]

Câu 54. Tìm tất cả các giá trị thực của \[m\] để phương trình \[ – 2{x^2} – 4x + 3 = m\] có nghiệm.

A. \[0 \le m \le 4\].

B. \[m \le 5\].

C. \[1 \le m \le 5\].

D. \[ – 4 \le m \le 0\].

Câu 55. Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f(x) = 4{x^2} – 4mx + {m^2} – 2m\] trên đoạn \[\left[ { – 2;0} \right]\] bằng \[3\]. Tính tổng \[T\] các phần tử của \[S\].

A. \[T = – \frac{3}{2}\]

B. \[T = \frac{1}{2}\]

C. \[T = \frac{9}{2}\]

D. \[T = \frac{3}{2}\]

Câu 56. Trục đối xứng của parabol \[\left( P \right):y =  – 2{x^2} + 5x + 3\] là

A. \[x = \frac{5}{4}\].

B. \[x = – \frac{5}{4}\].

C. \[x = \frac{5}{2}\].

D. \[x = – \frac{5}{2}\].

Câu 57. Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị \[\left( P \right)\] như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \[\left( P \right)\] cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

B. \[\left( P \right)\] có đỉnh là \[I\left( {3;4} \right)\].

C. \[\left( P \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;3} \right)\].

Câu 58. Đồ thị hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. \[{y = 2{x^2} – 4x + 1}\].

B. \[{y = {x^2} – 4x – 1}\].

C. \[{y = 2{x^2} – 4x – 1}\].

D. \[{y = – 2{x^2} – 4x – 1}\].

Câu 59. Biết rằng \[\left( P \right):y = a{x^2} – 4x + c\] có hoành độ đỉnh bằng \[ – 3\] và đi qua điểm \[M\left( { – 2;1} \right)\]. Tính tổng \[S = a + c\].

A. \[{S = 4}\].

B. \[{S = 1}\].

C. \[{S = 5}\].

D. \[{S = – 5}\].

Câu 60. Biết rằng \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 2(a > 1)\] đi qua điểm \[M\left( { – 2;1} \right)\] và có tung độ đỉnh bằng \[ – \frac{1}{4}\]. Tính tích \[T = ab\]

A. \[{P = – 3}\].

B. \[{P = – 2}\].

C. \[{P = 192}\].

D. \[{P = 28}\].

Câu 61. Đồ thị hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. \[{y = – {x^2} + 2x}\].

B. \[{y = – {x^2} + 2x – 1}\].

C. \[{y = {x^2} – 2x}\].

D. \[{y = {x^2} – 2x + 1}\].

Câu 62. Biết rằng hàm số \[y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\] đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại \[x = 2\] và có đồ thị hàm số đi qua điểm \[A\left( {0; – 1} \right)\]. Tính tổng \[S = a + b + c\].

A. \[{S = 4}\].

B. \[{S = 2}\].

C. \[{S = – 1}\].

D. \[{S = 4}\].

Câu 63. Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\] có đồ thị \[\left( P \right)\]. Tọa độ đỉnh của \[\left( P \right)\] là

A. \[I\left( { – \frac{b}{{2a}}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\]

B. \[I\left( {\frac{b}{{2a}};\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\]

C. \[I\left( { – \frac{b}{{2a}};\frac{\Delta }{{4a}}} \right)\]

D. \[I\left( { – \frac{b}{a}; – \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\]

Câu 64. Biết rằng hàm số \[y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\] đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại \[x =  – 2\] và có đồ thị đi qua điểm \[M\left( {1; – 1} \right)\]. Tính tổng \[S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\].

A. \[{S = 14}\].

B. \[{S = – 1}\].

C. \[{S = 1}\].

D. \[{S = 13}\].

Câu 65. Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c\] có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. \[{a > 0,b > 0,c > 0}\].

B. \[{a < 0,b < 0,c > 0.}\].

C. \[{a > 0,b < 0,c < 0}\].

D. \[{a > 0,b < 0,c > 0}\].

Câu 66. Cho hàm số \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] đồ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực \[m\] thì phương trình \[\left| {f\left( x \right)} \right| = m\] có đúng 4 nghiệm phân biệt.

A. \[{0 < m < 1}\].

B. \[{m > 3}\].

C. \[{m = – 1,m = 3}\].

D. \[{ – 1 < m < 0}\].

Câu 67. Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2} + x + 2\] và đường thẳng \[d:y = ax + 1\]. Tìm tất cả các giá trị thực của \[a\] để \[\left( P \right)\] tiếp xúc với \[d\].

A. \[{a = – 1;a = 3}\].

B. \[{a = 2}\].

C. \[{a = 1;a = – 3}\].

D. Không tồn tại \[a\].

Câu 68. Tìm giá trị lớn nhất \[M\] và giá trị nhỏ nhất \[m\] của hàm số \[y = f(x) =  – {x^2} – 4x + 3\] trên đoạn \[\left[ {0;4} \right]\].

A. \[{M = 4;m = 3}\].

B. \[{M = 4;m = 0}\].

C. \[{M = 29;m = 0}\].

D. \[{M = 3;m = – 29}\].

Câu 69. Cho hàm số \[y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\]. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng \[x = – \frac{b}{{2a}}\]

B. Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\]

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – \frac{b}{{2a}}} \right)\]

Câu 70. Tìm parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + 3x – 2\], biết rằng parabol cắt trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ bằng 2.

A. \[{y = – {x^2} + 3x – 3}\].

B. \[{y = – {x^2} + 3x – 2}\].

C. \[{y = {x^2} + 3x – 2}\].

D. \[{y = – {x^2} + x – 2}\].

Câu 71. Cho hàm số \[f(x) = a{x^2} + bx + c\] đồ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số thực m thì phương trình \[f\left( {\left| x \right|} \right) – 1 = m\] có đúng 3 nghiệm phân biệt.

A. \[{m = 3}\].

B. \[{m > 3}\].

C. \[{m = 2}\].

D. \[{ – 2 < m < 2}\].

Câu 72. Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án \[A,B,C,D\] sau đây?

A. \[{y = – 2{x^2} – 2x + 1}\].

B. \[{y = 2{x^2} + 2x – 1}\].

C. \[{y = 2{x^2} + 2x + 2}\].

D. \[{y = – 2{x^2} – 2x}\].

Câu 73. Hàm số \[{y = 2{x^2} + 4x – 1}\]

A. nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\].

B. nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 2} \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { – 2; + \infty } \right)\].

C. đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 1; + \infty } \right)\].

D. đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 2} \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 2; + \infty } \right)\].

Câu 74. Tìm giá trị thực của tham số \[m \ne 0\] để hàm số \[y = m{x^2} – 2mx – 3m – 2\] có giá trị nhỏ nhất bằng \[ – 10\] trên \[R\].

A. \[{m = – 1}\].

B. \[{m = 1}\].

C. \[{m = 2}\].

D. \[{m = – 2}\].

Câu 75. Xác định parabol \[\left( P \right):y = 2{x^2} + bx + c\], biết rằng \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[M\left( {0;4} \right)\] và có trục đối xứng \[x = 1\]

A. \[{y = 2{x^2} – 4x + 4}\].

B. \[{y = 2{x^2} + 4x – 3}\].

C. \[{y = 2{x^2} – 3x + 4}\].

D. \[{y = 2{x^2} + x + 4}\].

Bài viết trên VerbaLearn Math vừa giúp các bạn có thể nắm vững hơn phần kiến thức về hàm số bậc hai. Có bất kì thắc mắc gì về nội dung bài viết và chương trình học có thể inbox trực tiếp với chúng tôi.

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.