Hàm số bậc 3 – Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Ở bài học này,  VerbaLearn Math sẽ giúp các bạn liệt kê lại một số kiến thức về hàm số bậc 3 như tập xác định, bảng biến thiên, vẽ đồ thị và làm quen với một số bài tập khảo sát hàm số cơ bản và nâng cao.

Các bước khảo sát hàm số bậc 3 \[y = a {x^3} + b{x^2} + c\]

1. Tập xác định

Hàm số bậc 3 có tập xác định là \[R\]

2. Sự biến thiên

• Chiều biến thiên

– \[y = ?\]

– Xét dấu của \[y \to \] khoảng đồng biến, nghịch biến

• Cực trị
• Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = ?\]
• Bảng biến thiên

3. Đồ thị

Để xác định đồ thị hàm số bậc 3, ta tiến hành làm theo các bước sau:

• Tìm giao với \[Oy\]
• Tìm giao với \[Ox\]
• Tìm điểm phụ (nếu cần)
• Vẽ đồ thị

Bài tập khảo sát hàm số bậc 3

Bài 1. (ĐHKB – 2007) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \[y = – {x^3} + 3{x^2} – 4\]

Bài 2. (ĐHKD – 2012) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \[y = \frac{2}{3}{x^3} +  – {x^2} – 4x + \frac{2}{3}\]

Bài 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \[y =  – {x^3} – x\]

Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \[y = {x^3} – 3{x^2} + 4x + 2\]

Các dạng đồ thị của hàm số \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\]

Đồ thị gồm có các dạng sau:

– Đồ thị có cực đại, cực tiểu (có 2 cực trị, có cực trị) \[ \Leftrightarrow y’ = 0\] có 2 nghiệm phân biệt

– Đồ thị không có cực trị \[ \Leftrightarrow y’ = 0\] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \[y = {x^3} – 3{x^2} + 3x\]

Tập xác định: \[D\_R\]

Đạo hàm: \[y’ = 3{x^2} – 6x + 3\]

Cho \[y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  – \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên cả tập xác định; hàm số không đạt cực trị.

\[y” = 6x – 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1\]. Điểm uốn là \[I\left( {1;1} \right)\]

Giao điểm với trục hoành:

Cho \[y = 0 \Leftrightarrow {x^3} – 3{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

Giao điểm với trục tung:

Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 0\]

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y = {\left( {1 – x} \right)^2}\left( {4 – x} \right)\].

Giải:

\[y = {\left( {1 – x} \right)^2}\left( {4 – x} \right) = \left( {1 – 2x + {x^2}} \right)\left( {4 – x} \right) = 4 – x – 8x + 2{x^2} + 4{x^2} – {x^3} =  – {x^3} + 6{x^2} – 9x + 4\]

\[y =  – {x^3} + 6{x^2} – 9x + 4\]

Tập xác định: \[D = R\]

Đạo hàm: \[y =  – 3{x^3} + 12x – 9\]

Cho \[y’ = 0 \Leftrightarrow  – 3{x^3} + 12x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\]

Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  + \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  – \infty \]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\], nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right)\], \[\left( {3; + \infty } \right)\]

Hàm số đạt cực đại \[{y_{CD}} = 4\] tại \[{x_{CD}} = 5\]; đạt cực tiểu \[{y_{CT}} = 0\] tại \[{x_{CT}} = 1\]

\[y” =  – 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2\]. Điểm uốn là \[I\left( {2;2} \right)\]

Giao điểm với trục hoành: \[y = 0 \Leftrightarrow  – {x^3} + 6{x^2} – 9x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\x = 4\end{array} \right.\]

Giao điểm với trục tung: \[x = 0 \Rightarrow y = 4\]

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số: nhận điểm \[I\] làm trục đối xứng như hình vẽ bên đây

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y = 2{x^3} + 3{x^2} – 1\]

Tập xác định: \[D = R\]

Đạo hàm: \[y’ = 6{x^2} + 6x\]

Cho \[y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\] hoặc \[x =  – 1\]

Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  – \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right),\left( {0; + \infty } \right)\], nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 1;0} \right)\]

Hàm số đạt cực đại \[{y_{CĐ} = 0\] tại \[{x_{CĐ} =  – 1\], đạt cực tiểu \[{y_{CT}} =  – 1\] tại \[{x_{CT}} = 0\].
\[y” = 12x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  – \frac{1}{2} \Rightarrow y =  – \frac{1}{2}\]. Điểm uốn: \[I\left( { – \frac{1}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\]

Giao điểm với trục hoành:

cho \[y = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow x =  – 1\] hoặc \[x = \frac{1}{2}\]

Giao điểm với trục tung: cho \[x = 0 \Rightarrow y =  – 1\]

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây:

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y =  – \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} – 3x\]

Tập xác định: \[D = R\]

Đạo hàm: \[y’ =  – {x^2} + 4x – 3\]

Cho \[y’ = 0 \Leftrightarrow  – {x^2} + 4x – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1;x = 3\]

Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  + \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  – \infty \]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\], nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right),\left( {3; + \infty } \right)\]

Hàm số đạt cực đại \[{y_{CĐ} = 0\] tại \[{x_{CĐ} = 3\]; đạt cực tiểu \[{y_{CT}} =  – \frac{4}{3}\] tại \[{x_{CT}} = 1\]
\[y” =  – 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y =  – \frac{2}{3}\]. Điểm uốn là \[I\left( {2; – \frac{2}{3}} \right)\]

Giao điểm với trục hoành: cho \[y = 0 \Leftrightarrow  – \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\]

Giao điểm với trục tung: cho \[x = 0 \Rightarrow y = 0\]

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số:

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y =  – {x^3} + 3{x^2} – 1\]

Tập xác định: \[D = R\]

Đạo hàm: \[y’ =  – 3{x^2} + 6x\]

Cho \[y’ = 0 \Leftrightarrow  – 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\] hoặc \[x = 2\]

Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  + \infty \]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  – \infty \]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\]; nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)\]

Hàm số đạt cực đại \[{y_{C}} = 3\] tại \[{x_{C}} = 2\]

đạt cực tiểu \[{y_{CT}} =  – 1\] tại \[{x_{CT}} = 0\]

Giao điểm với trục tung: cho \[x = 0 \Rightarrow y =  – 1\]

Điểm uốn: \[y” =  – 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1\].

Điểm uốn là \[I\left( {1;1} \right)\]

Bảng giá trị: x

Đồ thị hàm số như hình vẽ:

Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \[y =  – {x^3} + 3x + 1\]

Tập xác định: \[D = R\]

Đạo hàm: \[y’ =  – 3{x^2} + 3\]

Cho \[y’ = 0 \Leftrightarrow  – 3{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1;x =  \pm 1\]

Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  – \infty \]

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – 1;1} \right)\]; nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\]

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 3 tại tại \[{x_{C}} = 1\]

đạt cực tiểu \[{y_{CT}} =  – 1\] tại \[{x_{CT}} =  – 1\]

\[y” =  – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 1\].

Điểm uốn là \[I\left( {0;1} \right)\]

Giao điểm với trục tung: cho \[x = 0 \Rightarrow y = 1\]

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số như hình vẽ:

Bài tập trắc nghiệm hàm số bậc 3

Câu 1: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = {x^3} + 3x\]

B. \[y =  – {x^3} + 3x\]

C. \[y =  – {x^3} – 3x + 1\]

D. \[y =  – {x^3} + 3x – 1\]

Câu 2: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y =  – {x^3} – 3x + 2\]

B. \[y =  – {x^3} + 3{x^2} – 2\]

C. \[y = {x^3} – 3x + 1\]

D. \[y =  – {x^3} – 3{x^2} – 2\]

Câu 3: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = {x^3} + 3{x^2} – x\]

B. \[y =  – {x^3} + 3{x^2} – 1\]

C. \[y = {x^3} + 3x – 1\]

D. \[y =  – {x^3} + 3{x^2} – 1\]

Câu 4: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = {x^3} + 3x\]

B. \[y =  – {x^3} + x\]

C. \[y =  – {x^3} – x\]

D. \[y =  – {x^3} + 3x – 1\]

Câu 5: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\]

B. \[y = \left( {x – 1} \right){\left( {x – 2} \right)^2}\]

C. \[y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\]

D. \[y = \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\]

Câu 6: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\]

B. \[y = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 4} \right)\]

C. \[y = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\]

D. \[y = \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x – 1} \right)\]

Câu 7: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A\[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\]

B. \[y = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 2} \right)\]

C. \[y = {\left( {x – 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\]

D. \[y = \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x – 1} \right)\]

Câu 8: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x – 4} \right)\]

B. \[y = \left( { – x + 4} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\]

C. \[y = \left( {x – 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}\]

D. \[y = \left( {{x^2} – 4} \right)\left( {x – 1} \right)\]

Câu 9: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = \left( {{x^2} – 1} \right)\left( { – x + 2} \right)\]

B. \[y = \left( { – x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\]

C. \[y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x – 1} \right)\]

D. \[y = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( { – x + 1} \right)\]

Câu 10: Đường cong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án \[A,B,C,D\] dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \[y = {x^3} – 3{x^2} + 2\]

B. \[y = {x^3} – 3x\]

C. \[y =  – {x^3} + 3x\]

D. \[y = {x^3} + 3x\]

Đáp án:

Qua bài học trên, mong rằng bạn đọc sẽ nắm vững kiến thức của hàm số bậc 3. Ngoài ra, nếu còn thắc mắc gì về các bài tập trên thì bạn có thể bình luận xuống bài viết này nhé.