Ngoài việc tìm tập xác định thì việc xét tính chẵn lẻ của hàm số cũng là một vấn đề cần giải quyết trước khi giải toán. Lý thuyết về tính chẵn lẻ khá đơn giản, tuy nhiên để áp dụng được vào các bài toán bạn cần nắm rõ phương pháp trước khi thực hiện.
Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó:
Nếu $D$ là tập đối xứng (tức là $\forall x \in D \Rightarrow – x \in D$, ta thực hiện tiếp bước 2
Nếu $D$ không là tập đối xứng (tức là $\exists x \in D \Rightarrow – x \notin D$ ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Bước 2: Xác định $f\left( { – x} \right)$, khi đó:
Nếu $f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)$ kết luận hàm số là hàm chẵn
Nếu $f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)$ kết luận hàm số là hàm lẻ
Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cùng không lẻ
Lý thuyết về các hàm số lượng giác
1. Hàm $y = \sin x$
- Là hàm số lẻ
- Có vô số tâm đối xứng ${I_K}\left( {k\pi ;0} \right),k \in Z$
2. Hàm số $y = \cos x$
- Là hàm số chẵn
- Có vô số trục đối xứng là $x = k\pi ,k \in Z$
3. Hàm số $y = t{\rm{anx}}$
- Là hàm số lẽ
- Có vô số tâm đối xứng là ${I_K}\left( {\frac{{k\pi }}{2};0} \right),k \in Z$
4. Hàm số $y = \cot x$
- Là hàm số lẻ
- Có vô số tâm đối xứng là ${I_K}\left( {\frac{{k\pi }}{2};0} \right),k \in Z$
Ví dụ xét tính chẵn lẻ của hàm số
Ví dụ 1. Xét tinh chẵn lẽ của hàm số sau: $f\left( x \right) = {\sin ^{2015}}x + \cos nx$, với $n \in Z$
Giải
Hàm số xác định trên $D = R$ là tập đối xứng
Ta có: $f\left( { – x} \right) = {\sin ^{2015}}\left( { – x} \right) + \cos \left( { – nx} \right) = – {\sin ^{2015}}x + {\mathop{\rm cosn}\nolimits} x \ne \pm f\left( x \right)$
Vậy hàm số không chẵn không lẻ.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẽ của hàm số sau: $f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{\sin x + t{\rm{anx}}}}$
Giải
Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne \\\sin x + t{\rm{anx}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\left( {\cos x + 1} \right)\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z$
Vậy hàm số xác định trên $D = R\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$ là tập đối xứng.
Ta có: $f\left( { – x} \right) = \frac{{{{\left( { – x} \right)}^2}}}{{\sin \left( { – x} \right) + t{\rm{an}}\left( { – x} \right)}} = – \frac{{{x^2}}}{{\sin x + t{\rm{anx}}}} = – f\left( x \right)$
Vậy hàm số lẻ
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẽ của các hàm số sau:
a. $f\left( x \right) = \left| x \right|.\sin x$
b. $f\left( x \right) = \frac{{{{\sin }^{2004n}}x + 2004}}{{\cos x}},n \in Z$
Giải
a. Hàm số xác định trên $D = R$ là tập đối xứng
Ta có: $f\left( { – x} \right) = \left| { – x} \right|.\sin \left( { – x} \right) = – \left| x \right|.\sin x = – f\left( x \right)$
Vậy hàm số lẻ.
b. Hàm số xác định trên $D = R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$ là tập đối xứng
Ta có: $f\left( { – x} \right) = \frac{{{{\sin }^{2004n}}\left( { – x} \right) + 2004}}{{\cos \left( { – x} \right)}} = \frac{{{{\sin }^{2004n}}x + 2004}}{{\cos x}} = f\left( x \right)$
Vậy hàm số chẵn.
Chú ý: Đôi khi người ta còn phát biểu bài toán dưới dạng:
1. Với câu a) là: “Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = \left| x \right|.\sin x$ có tâm đối xứng”
2. Với câu b) là: “Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{{\sin }^{2004n}}x + 2004}}{{\cos x}},n \in Z$ có trục đối xứng.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. $f\left( x \right) = \left| x \right|.\cos x$
b. $f\left( x \right) = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 4\sin x$
Bài 2. Xét tính chẵn lẽ của các hàm số sau:
a. $f\left( { – x} \right) = \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{2004n}}x + 2004}}{{\sin x}}$
b. $f\left( x \right) = \frac{{\cos x}}{{6{x^2} + 4{x^4} + 2{x^2} + 1}}$
Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. $f\left( x \right) = \sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + t{\rm{anx}}$
b. $f\left( x \right) = a + \cos x.\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} – 3x} \right)$
c. $f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|.\sin 2x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}2x}}$
d. $f\left( x \right) = \frac{{2\sin x – 4t{\rm{anx}}}}{{5 + \cos x}}$
Kết luận
Việc xét tính chẵn lẻ của hàm số sẽ giúp bạn giải quyết khá nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Đặc biệt là các phương trình lượng giác, những bài toán khó thường xoay quanh tính chất này của hàm số. Việc học thuộc lý thuyết và áp dụng nhiều vào bài tập sẽ giúp bạn thuần thục hơn.