Phân phối Student | Bảng phân phối, cách tra & ứng dụng

Bảng phân phối Student hay còn gọi là phân phối t được ứng dụng trong nhiều môn học đại cương của các ngành kinh tế học như: Xác suất thống kê, kinh tế lượng,… Dưới đây là bảng phân phối Student chính xác kèm theo một số lý thuyết cơ bản và bài tập vận dụng.

Phân phối Student là gì?

Phân phối Student còn được gọi là phân phối T hay phân phối T Student, trong tiếng anh là T Distribution hay Student’s t-distribution.

Phân phối Student có hình dạng đối xứng trục giữa gần giống với phân phối chuẩn. Khác biệt ở chỗ phần đuôi nếu trường hợp có nhiều giá trị trung bình phân phối xa hơn sẽ khiến đồ thị dài và nặng. Phân phối student thường ứng dụng để mô tả các mẫu khác nhau trong khi phân phối chuẩn lại dùng trong mô tả tổng thể. Do đó, khi dùng để mô tả mẫu càng lớn thì hình dạng của 2 phân phối càng giống nhau

Bảng phân phối Student PDF

1. Bảng  phân phối Student

Bậc tự do (df) | p-value 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005
1 1 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 15.89 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6
2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.92 4.303 4.849 6.965 9.925 14.09 22.33 31.6
3 0.765 0.978 1.25 1.638 2.353 3.182 3.482 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92
4 0.741 0.941 1.19 1.533 2.132 2.776 2.999 3.747 4.604 5.598 7.173 8.61
5 0.727 0.92 1.156 1.476 2.015 2.571 2.757 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869
6 0.718 0.906 1.134 1.44 1.943 2.447 2.612 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.517 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.86 2.306 2.449 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041
9 0.703 0.883 1.1 1.383 1.833 2.262 2.398 2.821 3.25 3.69 4.297 4.781
10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.359 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.328 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.303 2.681 3.055 3.428 3.93 4.318
13 0.694 0.87 1.079 1.35 1.771 2.16 2.282 2.65 3.012 3.372 3.852 4.221
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.264 2.624 2.977 3.326 3.787 4.14
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.249 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073
16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.12 2.235 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.74 2.11 2.224 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 0.688 0.862 1.067 1.33 1.734 2.101 2.214 2.552 2.878 3.197 3.611 3.922
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.205 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883
20 0.687 0.86 1.064 1.325 1.725 2.086 2.197 2.528 2.845 3.153 3.552 3.85
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.08 2.189 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.183 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792
23 0.685 0.858 1.06 1.319 1.714 2.069 2.177 2.5 2.807 3.104 3.485 3.768
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.172 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.06 2.167 2.485 2.787 3.078 3.45 3.725
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.162 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.158 2.473 2.771 3.057 3.421 3.69
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.154 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.15 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 0.683 0.854 1.055 1.31 1.697 2.042 2.147 2.457 2.75 3.03 3.385 3.646
40 0.681 0.851 1.05 1.303 1.684 2.021 2.123 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551
50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.109 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496
60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2 2.099 2.39 2.66 2.915 3.232 3.46
80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.99 2.088 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416
100 0.677 0.845 1.042 1.29 1.66 1.984 2.081 2.364 2.626 2.871 3.174 3.39
1000 0.675 0.842 1.037 1.282 1.646 1.962 2.056 2.33 2.581 2.813 3.098 3.3
z* 0.674 0.841 1.036 1.282 1.645 1.96 2.054 2.326 2.576 2.807 3.091 3.291
Khoảng tin cậy (CI) 50% 60% 70% 80% 90% 95% 96% 98% 99% 99.50% 99.80% 99.90%

Ghi chú: Khoảng tin cậy là CI = > \[\alpha \] = 1 -CI

2. File PDF

Tải bảng phân phối Student

Ứng dụng

Phân phối T – Student thường được dùng rộng rãi trong việc suy luận phương sai tổng thể khi có giả thiết tổng thể phân phối chuẩn, đặc biệt khi cỡ mẫu càng nhỏ thì độ chính xác càng cao. Ngoài ra, còn được ứng dụng trong kiểm định giả tiết về trung bình khi chưa biết phương sai tổng thể là bao nhiêu.

Phân phối này được ứng dụng trong cả xác suất thống kê và kinh tế lượng.

Các tính chất

Nếu như \[Y \sim N(0,1)\], \[Z \sim {X^2}(k)\] và độc lập với \[Y\] thì \[X = \frac{Y}{{\sqrt {\frac{Z}{k}} }} \sim T(k)\]. Trong trường hợp này phân phối Student có:

  • Hình dạng đối xứng gần giống phân phối chuẩn hóa
  • Khi cỡ mẫu càng lớn càng giống phân phối chuẩn hóa
  • Cỡ mẫu càng nhỏ, phần đuôi càng nặng và xa hơn

Hàm mật độ: \[f(x) = \frac{{T\left( {\frac{{k + 1}}{2}} \right)}}{{\sqrt {\pi k} T\left( {\frac{k}{2}} \right){{\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{k}} \right)}^{\frac{{k + 1}}{2}}}}};x \in R\]

Trung bình: \[\mu = 0\]

Phương sai: \[{\sigma ^2} = \frac{k}{{k – 2}},k \ge 2\]

Tính chất phân phối Student

Trong quá trình làm bài tập, khi bậc tự do lớn hơn 30 thì phân phối Student được xem như là phân phối chuẩn hóa. Khi đó: \[N\left( {0,\frac{k}{{k – 2}}} \right)\]

Cách tra bảng phân phối Student

Để tìm hiểu chi tiết về cách tra, mình giới thiệu đến các bạn ví dụ sau: Giả sử một cỡ mẫu có \[n = 41\], độ tin cậy \[90\% \]. Tra bảng \[t(n – 1)\] bằng bao nhiêu với \[\frac{\alpha }{2}\]

Giải:

Độ tin cậy: \[\gamma = 90\% \Rightarrow 1 – \alpha = 0.9 \Rightarrow \frac{\alpha }{2} = 0.05\]

Với \[n = 41 \Rightarrow df = n – 1 = 40\]

Khi đó: \[t\left[ {(n – 1),\frac{\alpha }{2}} \right] = t(40,0.05) = 1.684\]

Bài tập vận dụng

Cho một mẫu với cỡ mẫu là \[n = 32\], giá trị trung bình \[\mu = 128.5\]. Sai số chuẩn \[SE = 6,2\]. Tìm khoảng tin cậy \[{99\% }\] của giá trị trung bình.

Giải

Tóm tắt đề: \[n = 32,\mu = 128.5,SE = 6,2,CI(99\% ) = ?\]

Ta có: \[df = n – 1 = 31\]

\[\frac{\alpha }{2} = \frac{{1 – 99\% }}{2} = 0.005\]

Suy ra: \[t(31,0.005) = 2,744\]

Vậy: \[CI(99\% ) = (\mu – SE.t;\mu + SE.t) = (111,5;145,5)\]

Lưu ý

Trong quá trình ứng dụng bảng phân phối Student trong xác suất thống kê và các bộ môn liên quan cần lưu ý:

  • Sử dụng bảng phân phối chính xác
  • Phân biệt các khái niệm về: Độ tin cậy, độ lệch chuẩn
  • Nên tóm tắt đề trước khi giải toán