Phương trình trùng phương | Lý thuyết & bài tập

Phương trình trùng phương và phương trình quy về trùng phương

Phương trình trùng phương có dạng: \[a{x^4} + b{x^2} + c = 0(a \ne 0)\]

Thực chất đây là phương trình bậc hai với ẩn \[t = {x^2}\], trong đó \[t \ge 0\]: \[a{t^2} + bt + c = 0\]

Việc giải phương trình này là không khó, chỉ cần lưu ý điều kiện: \[t \ge 0\]

Ví dụ 4: Giải phương trình \[2{x^4} + 3{x^2} – 7 = 0\].

Giải:

Đặt \[t = {x^2}(t \ge 0)\] thì phương trình đã cho trở thành:

\[2{t^2} + 3t – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{ – 3 + \sqrt {65} }}{4} >0}\\{t = \frac{{ – 3 + \sqrt {65} }}{4} < 0}\end{array}} \right. \Rightarrow x =  \pm \sqrt t  =  \pm \frac{{\sqrt { – 3 + \sqrt {65} } }}{4}\]

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \[x = \pm \frac{{\sqrt { – 3 + \sqrt {65} } }}{4}\]

Ví dụ 5: Giải phương trình \[{x^4} – 4{x^3} + 5{x^2} – 2x – 3 = 0\]

Đặt \[x = t + 1\] thì phương trình trên trở thành:

\[{(t + 1)^4} – 4{(t + 1)^3} + 5{(t + 1)^2} – 2(t + 1) – 3 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {t^4} – {t^2} – 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2} < 0\] (Loại) hoặc \[{t^2} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\]

\[ \Leftrightarrow t = \pm \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow x = t + 1 = 1 \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: \[x = 1 \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}} \]

Nhận xét: Lời giải trên dựa vào nhận xét sau:

Để kiểm tra phương trình \[{a^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e = 0\] có phải bản chất là phương trình trùng phương hay không, ta dùng phép đặt \[x = t – \frac{b}{{4a}}\]. Ngoài ra thì ta nên nhớ hằng đẳng thức bậc bốn:

\[{(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^3}\]

Ví dụ 6: Giải phương trình \[{(x – 1)^4} + {(x + 3)^4} = 40\]

Đặt \[x = t – 1\] thì phương trình sẽ trở thành:

\[{(t – 2)^2} + {(t + 2)^2} = 40 \Leftrightarrow 2{t^4} + 48t{}^2 – 8 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {t^2} = – 12 – 2\sqrt {37} < 0\] (Loại) Hoặc \[{t^2} = – 12 + 2\sqrt {37} \]

\[ \Leftrightarrow t = \pm ( – 12 + 2\sqrt {37} ) \Rightarrow x = – 1 \pm \sqrt { – 12 + 2\sqrt {37} } \]

Nhận xét: Với phương trình có dạng \[{(x + a)^4} + {(x + b)^4} = c\], ta đặt \[x = t – \frac{{a + b}}{2}\] để phương trình quy về phương trình trùng phương ẩn t.

Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy

Phương trình bậc bốn hồi quy có dạng: \[a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + a = 0(a \ne 0)\]

Vì \[a \ne 0\] nên chắc chắn \[x = 0\] không phải là nghiệm của phương trình \[ \Rightarrow x \ne 0\]. Chia hai về cho \[{x^2} \ne 0\] ta được:

\[a{x^2} + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{{{x^2}}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow a\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + c = 0\]

Đặt \[t = x + \frac{1}{x}(\left| t \right| \ge 2)\]. Khi đó: \[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} – 2\]. Phương trình trên trở thành:

\[a({t^2} – 2) + bt + c = 0\]

Giải phương trình này tìm \[t\] với lưu ý \[\left| t \right| \ge 2\].

Sở dĩ ta có điều kiện \[\left| t \right| \ge 2\] là do \[\left| {x + \frac{1}{x}} \right| = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left| x \right|}} \ge \frac{{2\left| x \right|}}{{\left| x \right|}} = 2\]

Với cách giải tương tự, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn phản hồi quy có dạng:

\[a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} – bx + a = 0(a \ne 0)\]

Ta chia hai vế cho \[{x^2},\] rồi đặt \[t = x – \frac{1}{x}\] (không cần điều kiện của \[t\] vì với \[x \ne 0\] thì \[\left( {x – \frac{1}{x}} \right)\] có tập giá trị là \[R\]) để giải quyết.

Ví dụ 7: Giải phương trình \[2{x^4} + 3{x^3} – 5{x^2} + 3x + 2 = 0\]

(Phương trình trên có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy \[x = 0\] không thỏa mãn phương trình đã cho \[ \Rightarrow x \ne 0\]. Lúc này chia hai vế của phương trình cho \[{x^2} \ne 0\] ta được:

\[{x^2} + 3x – 5 + \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + \frac{1}{{x{}^2}}} \right) + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) – 5 = 0(*)\]

Đặt \[t = x + \frac{1}{x}\] với điều kiện \[\left| t \right| \ge 2\]. \[ \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} – 2\]

Lúc đó phương trình \[(*)\] trở thành \[2({t^2} – 2) + 3t – 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\] (loại) Hoặc \[t = – 3\]

Với \[t = – 3 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = – 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\]

Ví dụ 8: Giải phương trình \[{x^4} + 3{x^3} – 6{x^2} – 3x + 1 = 0\]

(Phương trình có dạng phản hồi quy)

Dễ thấy \[x = 0\] không thỏa mãn phương trình đã cho \[ \Rightarrow x \ne 0\]. Lúc này chia hai vế của phương trình cho \[{x^2} \ne 0\] ta được:

\[{x^2} + 3x – 6 – \frac{3}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} – 2} \right) + 3\left( {x – \frac{1}{x}} \right) – 4 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^2} + 3\left( {x – \frac{1}{x}} \right) – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – \frac{1}{x} = 1}\\{x – \frac{1}{x} = – 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}}\\{x = – 2 \pm \sqrt 5 }\end{array}} \right.\]

Phương trình có tập nghiệm là: \[S = \left\{ {\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}; – 2 \pm \sqrt 5 } \right\}\]

Ví dụ 9: Giải phương trình: \[{x^4} + 3{x^3} – 6{x^2} + 6x + 4 = 0\]

Dễ thấy \[x = 0\] không thỏa mãn phương trình đã cho \[ \Rightarrow x \ne 0\]. Lúc này chia hai vế của phương trình cho \[{x^2} \ne 0\] ta được:

\[{x^2} + 3x – 6 + \frac{6}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) + 3\left( {x + \frac{2}{x}} \right) – 10 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{2}{x}} \right)^2} + 3\left( {x + \frac{2}{x}} \right) – 10 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{2}{x} = – 5}\\{x + \frac{2}{x} = 2(VN)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {17} }}{2}\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm là \[x = \frac{{ – 5 \pm \sqrt {17} }}{2}\]

Nhận xét: Phương trình trên có dạng \[a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx + a{k^2} = 0(a \ne 0)\]

Đây là một dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy. Tương tự ta cũng suy ra cách giải cho dạng mở rộng của phương trình phản hồi quy: \[a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bkx – a{k^2} = 0(a \ne 0)\]

Phương trình bậc bốn khuyết \[{x^3}\]

Phương trình có dạng: \[a{x^4} + b{x^2} + cx + d = 0\]

Ví dụ 10: Giải phương trình \[{x^4} – 11{x^2} + 12x – 3 = 0\]

Dựa trên ý tưởng đưa phương trình về dạng \[{(a{x^2} + b)^2} = {(cx + d)^2}\], ta sẽ triển khai như sau:

Bước 1: Cô lập \[{x^4},\] về một vế: \[{x^4} = 11{x^2} – 12x + 3\]

Bước 2: Nhóm bình phương ở vế trái bằng cách cộng thêm vào hai vế một lượng là \[(2m{x^2} + {m^2})\], trong đó \[m\] là hằng số ta tìm sao cho phù hợp:

\[{x^4} + 2m{x^2} + {m^2} = (2m + 11){x^2} – 12x + (3 + {m^2})\]

\[ \Leftrightarrow {({x^2} + m)^2} = (2m + 11){x^2} – 12x + (3 + {m^2})(*)\]

Bước 3: Tìm hằng số \[m\] sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là biệt thức \[\Delta \] của vế phải đúng bằng \[0\].

\[ \Leftrightarrow {12^2} – 4(2m + 11)(3 + {m^2}) = 0\]

\[ \Leftrightarrow m = – 1\] hoặc \[m = \frac{{ – 9 \pm \sqrt {105} }}{4}\]

Để bài giải có tính thẩm mĩ của bài toán thì ta nên chọn \[m = – 1\]. Khi đó \[(*)\] sẽ trở thành:

\[{({x^2} – 1)^2} = 9{x^2} – 12x + 4 \Leftrightarrow {({x^2} – 1)^2} = {(3x – 2)^2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} – 1 = 3x – 2}\\{{x^2} – 1 = 2 – 3x}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}}\end{array}} \right.\]

Kết luận phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};\frac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}} \right\}\]

Nhận xét: Như vậy, việc giải phương trình có dạng khuyết \[{x^3}\] được chia làm các bước quan trọng như trên. Quan trọng nhất vẫn là bước giải phương trình tìm ra \[m\]. Nếu phương trình bậc ba ẩn \[m\] dễ giải thì quá tuyệt vời

Phương trình có dạng \[(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m,a + b = c + d\]

Cách giải phương trình này là xét trường hợp \[x = 0\]. Còn trường hợp \[x \ne 0\] thì biến đổi phương trình về dạng:

\[[{x^2} + (a + b)x + ab][{x^2} + (c + d)x + cd] = m\]

Do \[a + b = c + d\] nên ta đặt \[t = {x^2} + (a + b)x\] thì phương trình trở thành: \[(t + ab)(t + cd) = m\]

→ Đây là phương trình bậc hai ẩn \[t\]. Ta tiến hành tìm \[t\] sau đó quay ngược lại tìm \[x\].

Ví dụ 11: Giải phương trình \[({x^4} + 4x + 3)({x^2} + 12x + 35) = 9\]

Phương trình đã cho tương đương với:

\[(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9\]

\[ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) = 9\]

\[ \Leftrightarrow ({x^2} + 8x + 7)({x^2} + 8x + 15) = 9\]

\[ \Leftrightarrow {({x^2} + 8x)^2} + 22({x^2} + 8x) + 96 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 8x = – 6}\\{{x^2} + 8x = – 16}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 4 \pm \sqrt {10} }\\{x = – 4}\end{array}} \right.\]

e) Phương trình dạng \[({x^2} + bx + a)({x^2} + cx + a) = m{x^2}\]

Đầu tiên thử xem \[x = 0\] có phải là nghiệm của phương trình hay không. Khi \[x \ne 0\] ta tiến hành chia hai về của phương trình cho \[{x^2} \ne 0\]. Ta được:

\[\left( {x + \frac{a}{x} + b} \right)\left( {x + \frac{a}{x} + c} \right) = m\]

(“chia phân phát” ở vế trái, mỗi dấu ngoặc ta chia cho \[x\])

Đây là phương trình bậc hai, ẩn \[t = x + \frac{a}{x}\]

Ví dụ 12: Giải phương trình \[(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = \frac{{ – 3{x^2}}}{4}\]

Phân tích: Nhận xét rằng 6×1 = 2×3 nên ta sử dụng phép nhân phân phối để đưa về dạng phương trình đề cập trong trường hợp này:

\[ \Leftrightarrow ({x^2} + 7x + 6)({x^2} + 5x + 6) = \frac{{ – 3{x^2}}}{4}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + \frac{6}{x} + 7} \right)\left( {x + \frac{6}{x} + 5} \right) = \frac{{ – 3}}{4}\] (Dễ thấy \[x \ne 0\])

\[ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{6}{x}} \right)^2} + 12\left( {x + \frac{6}{x}} \right) + \frac{{143}}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{6}{x} = \frac{{ – 11}}{2}}\\{x + \frac{6}{x} = \frac{{ – 13}}{2}}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 3}}{2}}\\{x = – 4}\\{x = \frac{{ – 13 \pm \sqrt {73} }}{4}}\end{array}} \right.\]

Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ { – 4;\frac{{ – 3}}{2};} \right\}\]

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.