Tập giá trị của hàm số

Tập xác định của hàm số

1. Lý thuyết tập xác định hàm số

Khái niệm: Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]. Tập xác định của hàm số \[y = f\left( x \right)\] là tập hợp tất cả các số thực \[x\] sao cho biểu thức \[f\left( x \right)\] có nghĩa. Nếu gọi D là TXĐ của hàm số thì:

\[D = \left\{ {x \in R:f\left( x \right) \in {\rm{R}}} \right\}\].

2. Dạng toán hay gặp về tập xác định

1) Hàm số : \[y = \frac{1}{{p\left( x \right)}}\] có TXĐ là: \[D = \left\{ {x \in R/p\left( x \right) \ne 0} \right\}\]

2) Hàm số : \[y = \sqrt[{2n}]{{p\left( x \right)}}\] có TXXĐ là : \[D = \left\{ {x \in R/p\left( x \right) \ge 0} \right\}\]

3) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] và hàm số \[y = g\left( x \right)\] có TXĐ lần lượt là : \[{D_f}\] và \[{D_g}\].Gọi \[D\] là TXĐ của hàm số : \[y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\]; hàm số \[y = f\left( x \right).g\left( x \right)\] thì \[D = {D_f} \cap {D_g}\]

4) TXĐ của hàm số: \[y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\] là \[D = \left\{ {{D_f} \cap {D_g}\backslash x \in R/g\left( x \right) \ne 0} \right\}\]

3. Ví dụ áp dụng

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1) \[y = f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 3x – 2}  + \sqrt { – {x^2} + 5x – 6} \]

2) \[y = y = \frac{1}{{\sqrt {\left| x \right| – x} }}\]

3) \[y = \sqrt {\frac{{1 + x}}{{1 – x}}}  + \sqrt {\frac{{1 – x}}{{1 + x}}} \]

4) \[y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2} – 4x + 5}}}} + \sqrt[4]{{{x^2} – 3x + 2}}\]

5) \[y = \sqrt {x + \sqrt {{x^2} – x + 1} } \]

Bài 2. Cho hàm số:

\[y = \sqrt { – {x^2} + 8x – 7}  + \sqrt { – {x^2} + \left( {2m + 1} \right) – {m^2} – m} \]; \[m\]  là tham số

Định m để TXĐ của hàm số chỉ có một phần tử.

Giải: Hàm số xác định \[\sqrt {{x^2} – 100}  + \sqrt[4]{{100 – {x^2}}} < 1\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {x^2} + 8x – 7 \ge 0\left( 1 \right)\\ – {x^2} + \left( {2x + 1} \right)x – {m^2} – m \ge 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\]\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x \in \left[ {1;7} \right]\]\[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x – m} \right)\left[ {x – \left( {m + 1} \right)} \right],0\]

Gọi \[{S_1} = \left[ {1;7} \right]\] và \[{S_2} = \left[ {m;m + 1} \right]\] thì :Tập xác định của hàm số : \[D = {S_1} \cap {S_2}\] chỉ có một phần tử

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = 0\end{array} \right.\]

Bai 3. Giải các phương trình và bất phương trình sau:

1. \[\sqrt {{x^2} – 2x – 3}  + \sqrt[4]{{ – 4{x^2} + 8x – 3}} = 4\]

2. \[\sqrt {{x^2} – 4}  + \sqrt[4]{{4 – {x^2}}} < 4\]

Giải:

1. TXĐ : \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x – 3 \ge 0\\ – 4{x^2} + 8x – 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\\x \in \left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \emptyset \]

Vậy phương trình vô nghiệm.

2. \[\left\{ \begin{array}{l}4 – {x^2} \ge 0\\{x^2} – 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2\]

Thay \[x = 2\] và \[x =  – 2\] vào bất pt ta thấy : \[0 + 0 < 4\] (đúng)

Vậy bất pt có nghiệm  \[x = 2\] và \[x =  – 2\].

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tìm TXĐ của các hàm số sau:

\[y = \sqrt {x – 4}  + \sqrt { – {x^2} + 5x – 4} \]

1) \[y = \frac{{\sqrt {{x^2} – 16} }}{{\sqrt {{x^2} + 2x – 3} }}\]

2) \[y = \sqrt {\frac{{x + 3}}{{3 – x}}}  + \sqrt {\frac{{3 – x}}{{x + 3}}}  + 2010\]

3) \[y = \sqrt {\left| {x – 1} \right| + 1 – x} \]

Bài 2. Tìm \[x\] để các biểu thức sau có nghĩa. (tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).

1) \[\sqrt {3x – 1} \]

2) \[\sqrt {5 – 2x} \]

3) \[\frac{1}{{\sqrt {7x – 14} }}\]

4) \[\sqrt {2x – 1} \]

5) \[\frac{{\sqrt {3 – x} }}{{\sqrt {7x + 2} }}\]

6) \[\sqrt {\frac{{x + 3}}{{7 – x}}} \]

7) \[\frac{1}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\]

8) \[\sqrt {{x^2} + 3} \]

9) \[\sqrt {{x^2} – 2} \]

10) \[\sqrt {{x^2} – 3x + 7} \]

11) \[\sqrt {2{x^2} – 5x + 3} \]

12) \[\frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 5x + 6} }}\]

13) \[\frac{1}{{\sqrt {x – 3} }} + \frac{{3x}}{{\sqrt {5 – x} }}\]

14) \[\sqrt {6x – 1}  + \sqrt {x + 3} \]

Bài 2. Giải phương trình và các bất phương trình sau:

1) \[\sqrt { – {x^2} + 4x – 3}  + \sqrt { – {x^2} + 7x – 12}  = 3 – x\]

2) \[\sqrt {{x^2} – 100}  + \sqrt[4]{{100 – {x^2}}} < !\]

Tập giá trị của hàm số

1. Lý thuyết tập giá trị

Định nghĩa: cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có TXĐ là \[D\] tập hợp tất cả các giá trị của hàm số đgl miền giá trị của hàm số, gọi \[T\] là tập giá trị của hàm số \[y = f\left( x \right)\] thì:

\[T = \left\{ {y \in R/\exists {\rm{x}} \in {\rm{D,y = f}}\left( x \right)} \right\}\]

2. Phương pháp tìm tập giá trị của hàm số

Xét phương trình \[y = f\left( x \right)\] (*) ẩn số \[x\].

Ta tìm tất cả các giá trị của \[{\rm{y}}\] để (*) có nghiệm.

Tập hợp các giá trị của \[{\rm{y}}\] tìm được là tập gía trị của hàm số

Chú ý: Qua việc tìm tập giá trị của hàm số,đôi khi giúp ta tìm được GTLN ; GTNN của hám số

√ \[\mathop {Maxf\left( x \right)}\limits_{x \in D}  = M \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) \le M,\forall x \in D}\\{\exists {x_0} \in D:f\left( {{x_0}} \right) = M}\end{array}} \right.\]

√ \[\mathop {Min\left( x \right)}\limits_{x \in D}  = m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge m,\forall x \in D\\\exists {x_0} \in D:f\left( {{x_0}} \right) = M\end{array} \right.\]

3. Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm tập giá trị của các hàm số sau. Từ đó suy ra GTLN-GTNN (nếu có)

1. \[y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\]

2. \[y = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}\]

3. \[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} – x + 1}}\]

4. \[y = x – \sqrt {{x^2} – 1} \]

Bài 2. Cho hàm số \[y = \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} + 1}}\] xác định \[a\] và \[b\] để hàm số có tập giá trị là đoạn \[\left[ { – 1;9} \right]\]

Hướng dẫn giải:

1.

+) TXĐ : \[D = R\backslash \left\{ { – 1} \right\}\]

+) Xét phương trình \[y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\] (*) ẩn \[x\] ta có từ (*)

\[ \Leftrightarrow y\left( {x + 1} \right) = 2x – 1\]

\[ \Leftrightarrow \left( {y – 2} \right)x =  – 1 – y\]

Nếu \[y = 2\] thì (*) vô nghiệm.

Nếu \[y \ne 2\] thì (*) \[ \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1 – y}}{{y – 2}} \ne  – 1\]

Vậy: (*) có nghiệm khi và chỉ khi \[y \ne 2\]. Nên tập giá trị của hàm số là \[T = \left\{ {y \in R/y \ne 2} \right\} = R\backslash \left\{ 2 \right\}\]T = {yeR/y*2] = R\{2}

2. Ta có:

  • TXĐ : \[D = R\].
  • Xét phương trình : \[y = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} + 1}}\] ẩn số \[x\] (*)

Ta có:

(*) \[y\left( {{x^2} + l} \right) = {x^2} – 1 \Leftrightarrow \left( {1 – y} \right){x^2} = y + l\] + Nếu \[y = l\] thì (*) vô nghiệm.

+) Nếu \[y \ne l \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{y + 1}}{{1 – y}}\]

Vậy (*) có nghiệm \[ \Leftrightarrow \frac{{1 + y}}{{1 – y}} \ge 0 \Leftrightarrow  – 1 \le y < 1\]

Vậy: Tập giá trị của hàm số là \[T = \left[ { – 1;1} \right)\]

Suy ra:

√ \[\min y =  – 1\] đạt tại \[x = 0\]

√ Không tồn tại GTLN

3. Tương tự câu 2.

4. Ta có:

  • TXĐ : \[D = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\]
  • Xét phương trình : \[y = x – \sqrt {{x^2} – 1} \] (1) ẩn số \[x\].

Ta có (1) \[ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} – 1}  = x – y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge y\\2y.x = {y^2} + 1\end{array} \right.\]

Nếu \[y \le 0\] thì phương trình (1) vô nghiệm.

√ Nếu \[y > 0\] thì (1 \[ \Leftrightarrow \frac{{{y^2} + 1}}{{2y}} \ge y \Leftrightarrow 0 < y \le 1\]

Vậy tập giá trị của hàm số là \[T = \left( {0;1} \right]\]

Suy ra : GTLN là 1; không tồn tại GTNN.

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.