Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng [Có file PDF]

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng là một dạng toán tham số khi học về tính đồng biến, nghịch biến. Ở các cấp học nhỏ hơn, dạng toán này tồn tại dưới hình thức là một bài toán khó. Tuy nhiên, đến với chương trình toán THPT thì dạng toán này trở nên phổ biến. Đó là lý do Verbalearn Math sẽ giúp bạn thống kê lại toàn bộ kiến thức ngay trong bài viết này.

Lý thuyết về tính đồng biến nghịch biến của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[K\], trong đó \[K\] là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.

a) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên \[K\] nếu mọi \[{x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\].

b) Hàm số \[y = f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[K\] nếu mọi \[{x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\].

2. Định lí

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[K\].

a) Nếu \[f’\left( x \right) > 0\] với mọi \[x\] thuộc \[K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên \[K\].

b) Nếu \[f’\left( x \right) < 0\] với mọi \[x\] thuộc \[K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[K\].

c) Nếu \[f’\left( x \right) = 0\] với mọi \[x\] thuộc \[K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] không đổi trên \[K\].

Chú ý: Nếu hàm số \[f\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và có đạo hàm \[f’\left( x \right) > 0\] trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] thì hàm số \[f\] đồng biến trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Nếu hàm số \[f\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và có đạo hàm \[f’\left( x \right) < 0\] trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] thì hàm số \[f\] nghịch biến trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].

3. Định lí mở rộng

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[K\].

a) Nếu \[f’\left( x \right) > 0\] với mọi \[x\] thuộc \[K\] và \[f\left( x \right) = 0\] xảy ra tại một số hữu hạn điểm của \[K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên \[K\].

b) Nếu \[f’\left( x \right) < 0\] với mọi \[x\] thuộc \[K\] và \[f\left( x \right) = 0\] xảy ra tại một số hữu hạn điểm của \[K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[K\].

4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm \[f’\left( x \right)\]. Tìm các điểm \[{x_i}\left( {i = 1,2,…,n} \right)\] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm \[x\] theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ vận dụng

Ví dụ 1:

a. Tìm \[m\] để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – \frac{m}{2}{x^2} + ma – m + 2018\] đồng biến trên \[R\].

b. Tìm \[m\] để hàm số \[y =  – \frac{1}{3}\left( {m + 2} \right){x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} – mx – 2\] nghịch biến trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải

Nhắc lại: “Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên \[R\]”.

Cho \[f\left( x \right) = a{x^2} + nx + c\left( {a \ne 0} \right)\]+ \[f\left( x \right) > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\].+ \[f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\]+ \[f\left( x \right) < 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\]+ \[f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\]

Chú ý: khi hệ số \[a\] chưa khác không phải xét 2 TH :

  • TH1: \[a = 0\]
  • TH2: \[a \ne 0\]

a. Tìm \[m\] để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} – \frac{m}{2}{x^2} + ma – m + 2018\] đồng biến trên \[R\].

Tập xác định : \[D = R\].

Ta có: \[y’ = {x^2} – mx + m\].

Để hàm số đồng biến trên \[R\] thì \[y \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow {x^2} – mx + m \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta  < 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\].

Vậy \[m \in \left[ {0;4} \right]\] là giá trị cần tìm.

b. Tìm \[m\] để hàm số \[y =  – \frac{1}{3}\left( {m + 2} \right){x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} – mx – 2\] nghịch biến trên tập xác định của nó.

Tập xác định : \[D = R\].

Ta có : \[y’ =  – \left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x – m\].

Để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó thì \[y’ \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow  – \left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x – m \le 0,\forall x \in R\left( * \right)\]

TH1: \[a = 0 \Rightarrow  – \left( {m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m =  – 2\]. Khi đó \[\left( * \right) \Leftrightarrow 2 \le 0,\forall x \in R\] (vô lý)

Suy ra \[m =  – 2\] (loại).

TH2: \[a \ne 0 \Rightarrow  – \left( {m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m =  – 2\]. Khi đó  \[\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  – \left( {m + 2} \right) < 0\\\Delta  = 2m + 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  – 2\\m \le  – 2\end{array} \right.\] (vô nghiệm)

Ví dụ 2:

a. Tìm \[m\] để hàm số \[y = \frac{{2x – m}}{{x + 3}}\] đồng biến trên từng khoảng xác định.

b. Tìm \[m\] để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Hướng dẫn giải

a. Tìm \[m\] để hàm số \[y = \frac{{2x – m}}{{x + 3}}\] đồng biến trên từng khoảng xác định.

Hàm số xác định khi \[x + 3 \ne 3 \Leftrightarrow x \ne  – 3\].

Tập xác định: \[D = R\backslash  – 3 = \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( { – 3; + \infty } \right)\].

Ta có: \[y’ = \frac{{2.3 – 1.\left( { – m} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{6 + m}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\]

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì \[y’ > 0,\forall x \ne  – 3 \Leftrightarrow 6 + m > 0 \Leftrightarrow m >  – 6\].

Vậy \[m >  – 6\] là giá trị cần tìm.

Chú ý:

Ở ví dụ trên ta không cho điều kiện \[y’ > 0,\forall x \ne  – 3\] (bỏ dấu “\[ = \]”) vì tại \[y’ = 0 \Leftrightarrow m =  – 6\] hàm số có dạng \[y = \frac{{2x + 6}}{{x + 3}}\] hay \[y = 2\], khi đó phương trình \[y’ = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\] tại vô số nghiệm \[x \in R\] (không xảy ra tại hữu hạn điểm). Do đó điều kiện bài toán này là \[y’ > 0,\forall x \ne  – 3\].

b. Tìm \[m\] để hàm số \[y = \frac{{mx + 4}}{{x + m}}\] nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Hàm số xác định khi \[x + m \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  – m\].

Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ { – m} \right\} = \left( { – \infty ; – m} \right) \cup \left( { – m; + \infty } \right)\].

Ta có: \[y’ = \left( {x + m} \right)\left( {x + m} \right)\]

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì \[y’ < 0,\forall x \ne  – m\]

\[ \Leftrightarrow {m^2} – 4 < 0 \Leftrightarrow  – 2 < m < 2\].

Vậy giá trị của \[m\] cần tìm là \[ – 2 < m < 2\].

Ví dụ 3:

Cho hàm số \[y = {x^3} – 3{x^2} – 3\left( {m + 1} \right)x – m – 1\]

a. Tìm \[m\] để hàm số đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right)\].

b. Tìm \[m\] để hàm số nghịch biến trên \[\left[ { – 1;3} \right]\].

Hướng dẫn giải

TXĐ: \[D = R\]

Ta có \[y’ = 3{x^2} – 6x – 3\left( {m + 1} \right)\]

a. Tìm \[m\] để hàm số đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right)\]

Để hàm số đồng biến trên \[\left[ {1; + \infty } \right)\] thì \[y’ \ge 0\] \[\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\]

\[ \Rightarrow 3{x^2} – 6x – 3\left( {m + 1} \right) \ge 0\] \[\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – m – 1 \ge 0\] \[\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 \ge m\] \[\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\]

Đặt \[f(x) = {x^2} – 2x – 1 \Rightarrow f'(x) = 2x – 2\]

Cho \[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: \[f\left( x \right) \ge , \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) \ge m \Rightarrow m \le  – 2\]

Vậy \[m \le  – 2\] thì hàm số đồng biến trên \[{\left[ {1; + \infty } \right)}\]

b. Tìm \[m\] để hàm số nghịch biến trên \[\left[ { – 1;3} \right]\].

Để hàm số nghịch biến trên \[\left[ { – 1;3} \right]\] thì \[y’ \le 0\] \[\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\]

\[ \Rightarrow 3{x^2} – 6x – 3(m + 1) \le 0\] \[\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} – 2x – m – 1 \le 0\] \[\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\]

\[{x^2} – 2x – 1 \le m\] \[\forall x \in \left[ { – 1;3} \right]\]

Đặt \[f\left( x \right) = {x^2} – 2x – 1 \Rightarrow f’\left( x \right) = 2x – 2\]

Cho \[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: \[f\left( x \right) \le m \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ { – 1;3} \right]} f\left( x \right) \le m \Rightarrow m \ge 2\]

Vậy \[m \ge 2\] thì hàm số nghịch biến trên \[\left[ { – 1;3} \right]\]

Tài liệu về bài toán tham số và tính đồng biến nghịch biến

1.

2.

3.

4.

5.

Mong rằng qua bài học hôm nay, VerbaLearn đã giúp các bạn làm chủ hoàn toàn các dạng toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên các khoảng, đoạn bất kì. Nếu có bất kì thắc mắc gì về bài viết, bạn đọc có thể để lại bình luận phía bên dưới nhé.

Hãy bình luận đầu tiên

Để lại một phản hồi

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiện thị công khai.