• Home
    • Promo Codes
    • Toán lớp 10
    • Toán lớp 11
    • Toán lớp 12

VerbaLearn

Kiến thức công nghệ, khoa học & đời sống

Home » Toán lớp 12

Công thức tích phân: Đầy đủ & chi tiết [Kèm tài liệu]

Lê Võ Dũng 22/05/2022 Toán lớp 12

Tích phân là một khái niệm toán học quan trọng cùng với phép tính nghịch đảo của nó là vi phân có vai trò quan trọng trong chương trình toán giải tích lớp 12. Bạn có thể hiểu đơn giản tính chất của tích phân là diện tích hay diện tích tổng quát hóa. Bài viết sau đây, VerbaLearn sẽ cùng bạn đi tìm hiểu các công thức tích phân và một số loại bài tập tích phân thường gặp nhất.

Bài viết liên quan
  • Chương trình toán 12
  • Công thức nguyên hàm
Mục lục
1. Khái quát công thức tích phân
2. Định nghĩa tích phân
3. Tính chất của tích phân
4. Phương pháp tính tích phân
5. Phân loại và phương pháp giải toán trắc nghiệm
6. Tài liệu công thức tích phân

Khái quát công thức tích phân

Bảng khái quát công thức tích phân giúp nắm vững được tính chất tích phân, 2 phương pháp tính tích phân và các dạng toán tích phân. Từ đó hình thành tư duy giải toán tích phân, luyện tập phản xạ với từng dạng bài được cho và không bị nhầm lẫn giữa các dạng. Bạn có thể tải về dưới dạng PDF ngay hoặc xem trực tiếp tại đây.

Công thức tích phân
Công thức tính phân, tính chất tích phân và các phương pháp tích cơ bản

Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a, b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm số f(x), kí hiệu

Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu F(b) – F(a).

Vậy Định nghĩa tích phân

Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hoặc hoặc . Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b], thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S =

Tính chất của tích phân

Tính chất 1: Tính chất của tích phân 1 (k: const)

Tính chất 2: Tính chất của tích phân 2

Tính chất 3: Tính chất của tích phân 3 (a < c < b)

Phương pháp tính tích phân

1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số x = φ (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [⍺, β] sao cho φ (⍺) = a, φ (β) = b và a ≤ φ (t) ≤ b với mọi t ∊ [⍺, β]. Khi đó:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Định lý 2: (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) ∊ [⍺, β]. Giả sử ta có thể viết f(x) = g(u(x)). u’(x), x ∊ [a, b] với g(x) liên tục trên đoạn [⍺, β]. Khi đó ta có:

2. Phương pháp tích phân từng phần

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì Phương pháp tính tích phân toàn phần

Phân loại và phương pháp giải toán trắc nghiệm

Dạng 1: Tích phân hữu tỉ

Phương pháp

Một số dạng cần nhớ

1)

2)

3)

4) thì đặt

Dạng tổng quát Dạng tích phân hữu tỉ

Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức P(x) ≥ m + n + 1 ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2

Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức P(x) < m + n + 2 ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định”

Bước 1: Phân tích:

Bước 2: Quy đồng mẫu và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số Ai, Bk, M, N

Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản.

Chú ý:

+ Đôi khi ta dùng phương pháp thêm – bớt – tách sẽ ngắn gọn hơn.

+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhầm giảm bớt bậc để đưa tích hàm hữu tỉ đơn giản hơn.

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Cho . Tìm a.

A.

B. 2

C. 5

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Ta có:

Ví dụ 2: Cho , (a, b ∊ ℤ). Giá trị của 3a + 2b là

A. 0

B. 1

C. 8

D. 10

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Khi thấy những bài tích phân có dạng thì ta sẽ biến đổi

⇒ ta sẽ tìm được A và B.

Khi đó:

Áp dụng vào bài, ta có:

Ví dụ 3: Tìm tất cả các số thức m dương thỏa mãn .

A. m = 3

B. m = 2

C. m = 1

D. m > 3

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có:

Suy ra:

Ta thấy chỉ có m = 1 thỏa mãn (*).

Dạng 2: Tích phân có chứa căn thức

Phương pháp

Lớp bài toán 1: thỏa (p + 1) ⋮ k, khi đó ta đặt

Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác

Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau

Dấu hiệu tích phân có căn thức

Lớp bài toán 3:

Hướng 1: theo dạng 2

Hướng 2: Hữu tỉ hóa. Sử dụng các phép biển đổi Euler

Với a > 0, đặt

Với c > 0, đặt

Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì đặt hoặc đặt

Chú ý:

ta biến đổi về dạng

ngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta còn có thể giải bằng phép thế đại số. Đặt hoặc hoặc t = mx + n hoặc

Với dạng ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa về dạng: hoặc

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Trong các tích phân sau, tích phân nào không cùng giá trị với

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt

Đổi cận x = 1 thì t = 1; x = 2 thì t = 4.

Ví dụ 2: Tính tích phân ta được là phân số tối giản. Giá trị bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Đặt

Đổi biến: u (0) = 1; u (3) = 2

Khi đó ta có:

Do đó: a = 116, b = 15. Suy ra: =

Ví dụ 3: Kết quả của tích phân là phân số tối giản. Giá trị P = a2 + b2 bằng

A. 2786

B. 2785

C. 2685

D. 2885

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Đặt

Với x = 0 ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 3

Vậy

Suy ra: a = 52, b = 9. Do đó: S = 2785.

Ví dụ 4: Tính tích phân: được kết quả I = a ln3 + b ln5, (a, b ∊ ℤ). Tổng a + b là

A. 2

B. 3

C. –1

D. 1

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Đặt

Đổi cận: x = 1 ⟶ u = 2; x = 5 ⟶ u = 4

Vậy

Do đó a = 2; b = –1. Suy ra: a + b = 1.

Dạng 3: Tích phân lượng giác

Phương pháp

Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thức k ≠ 0

Dạng tích phân lượng giác

Mốt số lớp bài toán thường gặp

Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác

I = ∫f (sinx) cosxdx = ∫f (t)dt

I = ∫f (cosx) sinxdx = –∫f (t)dt

Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

∫sinax.sinbx dx

∫cosax.cosbx dx

∫sinax.cosbx dx

Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng:

Lớp bài toán 3: ∫sinn xdx; ∫cosn xdx (n ∊ ℕ; n ≥ 2)

Cách giải:

Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc để hạ đến hết bậc:

Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức:

cosxdx = d (sinx); sinxdx = –d (cosx)

Lớp bài toán 4:

Cách giải:

Đặt

Lớp bài toán 5:

Cách giải

Biến đổi: Tử = A (mẫu) + B (đạo hàm mẫu) + C rồi đưa về dạng 4 nếu C ≠ 0.

Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp. Trong thực tế có thẻ gặp nhiều dạng khác nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên hàm tích phân.

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Cho tích phân . Giá trị a3 + b3 +1.

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ví dụ 2: Cho tích phân . Giá trị bằng

A. 11

B.

C. 4

D. 7

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ví dụ 3: Cho tích phân . Giá trị A = 4a + 8b bằng

A. 0

B. 2

C. 1

D. –1

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ví dụ 4: Cho tích phân . Giá trị sin6 a + cos6 a bằng

A.

B.

C. 1

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ví dụ 5: Cho tích phân . Giá trị A = 6a + 15b bằng

A. 11

B. 4

C. 7

D. 3

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có:

Trong đó:

Xét

Đặt t = sin x, suy ra . Khi đó:

Vậy

Dạng 4: Tích phân từng phần

Phương pháp

Cho u = u(x), v = v(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) ta có:

∫udv = uv – ∫vdu

Dạng tích phân từng phần

Chú ý: Cho dãy “ưu tiên” các loại hàm như sau ‘logarit → đa thức → mũ, lượng giác’ và P(x), Q(x) là 2 trong các loại hàm số đó. Khi cần tính ∫P(x).Q(x) dx ta chọn từng phần theo nguyên tắc sau

Chọn u = Hàm được ưu tiên hơn

dv = phần còn lại

Ví dụ ∫ (2x + 1) ln (x – 1) dx ta chọn

Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Kết quả phân tích , (b ∊ ℤ). Giá trị 3 + b là

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Tính

Tính

Xem:

Dùng công thức tích phân từng phần

Vậy:

Ví dụ 2: Biết rằng tích phân , (a, b ∊ ℤ+). Giá trị ab bằng

A. 1

B. –1

C. –15

D. 20

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Đặt u = (2x + 1) ⇒ du = 2dx

dv = ex dx ⇒ v = ex

Ví dụ 3: Tìm số thực m > 1 thỏa mãn

A. m = 2e

B. m = e

C. m = e2

D. m = e + 1

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Đặt

Ví dụ 4: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng (0; +∞) và . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. I = F (6) – F (1)

B. I = F (6) – F (3)

C. I = F (9) – F (3)

D. I = F (4) – F (2)

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét

Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3, x = 3 ⇒ t = 9.

Suy ra:

Ví dụ 5: Đặt , k nguyên dương. Ta có Ik < e – 2 khi:

A. k ∊ {1; 2}

B. k ∊ {2; 3}

C. k ∊ {4; 1}

D. k ∊ {3; 4}

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt

Do k nguyên dương nên k ∊ {1; 2}.

Ví dụ 6: Cho tích phân . Giá trị A = 8a + b bằng

A. –3

B. 0

C. 1

D. 2

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Tính

Đặt , chọn

Vậy

Ví dụ 7: Cho tích phân . Giá trị bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Đặt , chọn v = –cotx.

Vậy

Ví dụ 8: Cho tích phân .

Giá trị A = 32a + 4b + 2c bằng

A. –3

B. 2

C. –2

D. 1

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Tính

Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = (tan2 x + 1) dx, chọn v = tanx.

Vậy

Do đó:

Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp

Bài toán: Tính tích phân Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

(với g(x) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)

PP chung:

Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên [a; b]

Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng (sử dụng tính chất 3 để tách)

Tính mỗi tích phân thành phần.

Đặc biệt: Tính tích phân

Cách giải

Cách 1:

Cho f(x) = 0 tìm nghiệm trên [a; b]

Xét dấu của f(x) trên [a; b], dựa vào dấu của f(x) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng (sử dụng tính chất 3 để tách)

Tính mỗi tích phân thành phần.

Cách 2:

Cho f(x) = 0 tìm nghiệm trên [a; b] giả sử các nghiệm đó là x1; x2; … xn

(với x1 < x2 < … < xn).

Khi đó:

Tính mỗi tích phân thành phần

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: là phân số tối giản. Giá trị a + b bằng

A. 11

B. 25

C. 100

D. 50

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ví dụ 2: , (a ∊ ℕ*). Hỏi a3 là bao nhiêu?

A. 27

B. 64

C. 125

D. 8

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có:

Với

Với thì

Với thì

Ví dụ 3: Biết , với a, b là các số nguyên. Giá trị S = a – b bằng

A. 9

B. 11

C. 5

D. –3

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ta có:

Ví dụ 4: Cho tích phân và . Giá trị của a và b lần lượt là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Ví dụ 5: Tính tích phân , a > 0 ta được kết quả I = f(a). Khi đó tổng có giá trị bằng:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

TH1: Nếu a ≥ 1 khi đó

TH2: Nếu 0 < a < 1 khi đó

-1

Khi đó

Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa và . Giá trị bằng

A. 30

B. 32

C. 34

D. 36

Lời giải

Đáp án B

Xét

Đặt u = 2x ⇒du = 2dx; x = 0 ⇒u = 0; x = 1 ⇒ u = 2.

Nên

Xét

Đặt v = 6x ⇒ dv = 6dx; x = 0 ⇒ v = 0; x = 2 ⇒ u = 2.

Nên

Xét

Tính

Đặt t = 5|x| + 2.

Khi –2 < x < 5, t = 5x + 2 ⇒ dt = 5dx; x = 2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.

Vậy = 32.

Dạng 6: Tích phân siêu việt

Phương pháp

Các ví dụ rèn luyện kĩ năng

Ví dụ 1: Xét tích phân . Sử dụng phương pháp đổi biến số với u = x2, tích phân I được biến đổi thành dạng nào sau đây:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có:

Đặt

Với x = 1 ⇒ u = 1 và

Khi đó

Ví dụ 2: Biết rằng , (a, b, c ∊ ℤ). Giá trị của S = a + b + c bằng

A. 3

B. 2

C. 0

D. 4

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Đặt

Do đó a = 1; b = –1; c = 0 ⇒ S = 0.

Ví dụ 3: Cho tích phân , (a, b ∊ ℕ*). Giá trị S = cos [(a + b) π] + sin [(a – b) π] bằng

A. 0

B. –1

C. 1

D. –4

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Đặt thì t = 2; x = 38 thì t = 3.

S = cos [(a + b) π] + sin [(a – b) π] = –1.

Ví dụ 4: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tính bằng:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Do là một nguyên hàm của hàm số nên

Tính . Đặt

Khi đó:

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) và f (0) = f (1) = 1. Biết rằng: . Tính Q = a2017 + b2017.

A. Q = 22017 + 1

B. Q = 2

C. Q = 0

D. Q = 22017 – 1

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Đặt

Do đó a = 1, b = –1.

Suy ra Q = a2017 + b2017 = 12017 + (–1)2017 = 0.

Vậy Q = 0.

Ví dụ 6: Tính tích phân

A. I = 0

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Tính tích phân

Đặt x = –t ⇒ dx = –dt. Khi x = –2 thì t = 2; khi x = 2 thì t = –2.

Ta có

Ví dụ 7: Biết với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S = m + n + p.

A. S = 6

B. S = 5

C. S = 7

C. S = 8

Hướng dẫn giải

Ta có

Tính

Đặt

Đổi cận: Khi x = 0 thì t = π + e; khi x = 1 thì t = π + 2e.

Khi đó . Vậy S = 7.

Ví dụ 8: Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết . Giá trị của bằng

A. 1

B. 6

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Do và

Mặt khác và y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ

⇒ f(–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.

Xét I = . Đặt t = –x ⇒ dx = – dt

Ví dụ 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn . Tính tích phân .

A. I = 3 + 2ln2 2

B. I = 2ln2 2

C. I = ln2 2

D. I = 2ln 2

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ta có

Xét

Đặt

Xét

Do đó

Dạng 7: Tích phân hàm ẩn

Phương pháp

Phương pháp chung cho loại toán này là áp dụng kỹ thuật đổi biến, phương pháp từng phần và kỹ thuật đạo hàm…, ngoài ra có một vài dạng đặc trưng sau:

Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng: u(x). f’(x) + u’(x) f(x) = h(x)

Cách giải

Ta có u(x) f’(x) + u’(x) f(x) = [u(x) f(x)]’

Do đó u(x) f’(x) + u’(x) f(x) = h(x) ⇔ [u(x) f(x)]’ = h(x)

Suy ra u(x) f(x) = ∫h(x) dx

Suy ra ta được f(x)

Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) + f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế với ex ⇒ ex. f’(x) + ex. f(x) = ex. h(x) ⇔ [ex. f(x)]’ = ex. h(x)

Suy ra ex. f(x) = ∫ex h(x) dx

Suy ra được f(x)

Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) – f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế với e–x ⇒ e–x. f’(x) + e–x. f(x) = e–x. h(x) ⇔ [e–x. f(x)]’ = e–x. h(x)

Suy ra e–x. f(x) = ∫e–x h(x) dx

Suy ra được f(x)

Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) + p(x) f(x) = h(x)

Cách giải

Nhân hai vế với

Suy ra

Suy ra được f(x)

Công thức

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn 3 f(x) + x f’(x) = x2018 với mọi x ∊ [0; 1]. Tính .

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Từ giả thiết 3 f(x) + x f’(x) = x2018, nhân hai vế cho x2 ta được

3x2f(x) + x3f’(x) = x2020 ⇔ [x3f(x)]’ = x2020.

Suy ra

Thay x = 0 vào hai vế ta được C = 0 ⇒

Vậy

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 4], thỏa mãn với mọi x ∊ [0; 4]. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B. e4f (4) – f (0) = 3e

C. e4f (4) – f (0) = e4 – 1

D. e4f (4) – f (0) = 3

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Nhân hai vế cho ex để thu dược đạo hàm đúng, ta được

Suy ra

Vậy

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn f’(x) – 2018 f(x) = 2018 x2017 e2018x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 2018. Giá trị f (1) bằng

A. 2018e–2018

B. 2017e2018

C. 2018e2018

D. 2019e2018

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Nhân hai vế cho e–2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được

 f’(x) – 2018 f(x) = 2018 x2017 e2018x ⇔ [f(x) e–2018x]’ = 2018 x2017.

Suy ra f(x) e–2018 = ∫2018x2017 dx = x2018 +C.

Thay x = 0 vào hai vế ta được C = 2018 ⇒ f(x) = (x2018 + 2018) e2018x.

Vậy f (1) = 2019 e2018.

Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn và f (0) = –2. Giá trị f (1) bằng

A. e

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Nhân hai vế cho để thu được đạo hàm đúng, ta được

Suy ra

Thay x = o vào hai vế ta được

Vậy

Ví dụ 5: xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn . Tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáo án C.

Ta có: (1).

Đặt t = 1 – x, thay vào (1), ta được: hay (2).

Từ (1) & (2), ta được:

Do đó, ta có:

Cách 2: Công thức

Lấy tích phân 2 vế ta được

Chú ý: Ta có thể dùng công thức . Khi đó:

Từ suy ra

Ví dụ 6: Cho . Giá trị theo a là

A. 2a

B. 4a

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Đặt t = x2 + 1 ⇒ dt = 2x dx.

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2.

Khi đó:

Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân

Phương pháp

Áp dụng các bất đẳng thức:

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì Bất đẳng thức tích phân

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và m ≤ f(x) ≤ M thì

Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a; b] thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f(x) = k. g(x).

Bất đẳng thức AM – GM

Các ví dụ rèn luyện kỹ năng

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 0, và . Giá trị phân bằng

A. 1

B.

C.

D. 4

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Dùng tích phân từng phần ta có . Kết hợp với giả thiết f (1) = 0, ta suy ra

Theo Holder

Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f’(x) = kx3, thay vào ta được k = –7.

Suy ra

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 1, và . Giá trị f (2) bằng

A. 2

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Theo Holder

Vậy

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 2, f (0) = 0 và . Tích phân bằng

A. 0

B. 1011

C. 2018

D. 2022

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Theo Holder

Vậy f(x) = 2x ⇒ = 1011.

Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f’(x) liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = e f (0) và . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có

Mà nên dấu “=” xảy ra, tức là

Theo giả thiết f (1) = e f (0) nên ta có

Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0; 1], có đạo hàm dương và liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (0) = 1 và . Giá trị bằng

A.

B. 2 (e2 – 1)

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có

Suy ra

Mà nên dấu “=” xảy ra, tức là

Theo giả thiết

Tài liệu công thức tích phân

Bạn có thể thực hành kiến thức của mình bằng cách làm thử các bài tập trắc nghiệm trong tài liệu tích phân dưới đây. Tài liệu bao gồm khá nhiều bài tập trắc nghiệm với nhiều dạng khác nhau.

Thông tin tài liệu
Tác giảVerbaLearn
Số trang78
Lời giải chi tiếtCó

Mục lục tài liệu

  • Lý thuyết tích phân
  • Tích chất tích phân
  • Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
  • Dạng 2: Dùng tích chất cận trung gian để tính tích phân
  • Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
  • Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần
  • Trắc nghiệm nhận biết thông hiểu

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 1

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 2

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 3

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 4

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 5

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 6

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 7

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 8

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 9

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 10

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 11

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 12

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 13

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 14

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 15

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 16

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 17

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 18

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 19

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 20

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 21

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 22

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 23

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 24

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 25

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 26

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 27

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 28

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 29

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 30

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 31

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 32

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 33

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 34

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 35

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 36

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 37

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 38

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 39

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 40

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 41

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 42

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 43

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 44

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 45

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 46

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 47

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 48

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 49

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 50

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 51

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 52

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 53

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 54

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 55

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 56

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 57

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 58

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 59

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 60

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 61

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 62

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 63

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 64

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 65

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 66

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 67

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 68

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 69

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 70

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 71

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 72

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 73

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 74

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 75

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 76

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 77

Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân 78

Trên đây là toàn bộ các dạng toán về công thức tích phân mà các bạn học sinh cần phải nắm chắc. Ngoài ra, việc thực hành các dạng bài tập theo từng tài liệu còn giúp các em nâng cao phản xạ và tính chính xác.

Sidebar chính

Footer

Liên hệ

  • Mã giảm giá & khuyến mãi: Promo Codes

Giới thiệu

  • Giới thiệu
  • Chính sách
  • Điều khoản
  • Thông cáo báo chí

Copyright © 2019–2023 by VerbaLearn