Tích phân là một khái niệm toán học quan trọng cùng với phép tính nghịch đảo của nó là vi phân có vai trò quan trọng trong chương trình toán giải tích lớp 12. Bạn có thể hiểu đơn giản tính chất của tích phân là diện tích hay diện tích tổng quát hóa. Bài viết sau đây, VerbaLearn sẽ cùng bạn đi tìm hiểu các công thức tích phân và một số loại bài tập tích phân thường gặp nhất.
Khái quát công thức tích phân
Bảng khái quát công thức tích phân giúp nắm vững được tính chất tích phân, 2 phương pháp tính tích phân và các dạng toán tích phân. Từ đó hình thành tư duy giải toán tích phân, luyện tập phản xạ với từng dạng bài được cho và không bị nhầm lẫn giữa các dạng. Bạn có thể tải về dưới dạng PDF ngay hoặc xem trực tiếp tại đây.
Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a, b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm số f(x), kí hiệu 
Ta còn dùng kí hiệu 
để chỉ hiệu F(b) – F(a).
Vậy 
Ta gọi 
là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b, ta quy ước
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi hoặc 
hoặc 
. Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b], thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S =
Tính chất của tích phân
Tính chất 1: 
(k: const)
Tính chất 2: 
Tính chất 3: 
(a < c < b)
Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 1 (Đổi biến loại 1): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số x = φ (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [⍺, β] sao cho φ (⍺) = a, φ (β) = b và a ≤ φ (t) ≤ b với mọi t ∊ [⍺, β]. Khi đó:
Định lý 2: (Đổi biến loại 2): Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử hàm số u(x) có đạo hàm liên tục và u(x) ∊ [⍺, β]. Giả sử ta có thể viết f(x) = g(u(x)). u’(x), x ∊ [a, b] với g(x) liên tục trên đoạn [⍺, β]. Khi đó ta có:
2. Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì 
Phân loại và phương pháp giải toán trắc nghiệm
Dạng 1: Tích phân hữu tỉ
Phương pháp
Một số dạng cần nhớ
1) 
2) 
3) 
4) 
thì đặt 
Dạng tổng quát 
Trường hợp 1: Nếu bậc của đa thức P(x) ≥ m + n + 1 ta chia tử cho mẫu để đưa về trường hợp 2
Trường hợp 2: Nếu bậc của đa thức P(x) < m + n + 2 ta sử dụng “phương pháp hệ số bất định”
Bước 1: Phân tích: 
Bước 2: Quy đồng mẫu và đồng nhất 2 vế để tìm các hệ số Ai, Bk, M, N
Bước 3: Thực hiện các dạng cơ bản.
Chú ý:
+ Đôi khi ta dùng phương pháp thêm – bớt – tách sẽ ngắn gọn hơn.
+ Một số trường hợp ta đổi biến số nhầm giảm bớt bậc để đưa tích hàm hữu tỉ đơn giản hơn.
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Ví dụ 1: Cho 
. Tìm a.
. Tìm a.A. 
B. 2
C. 5
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án D.
Ta có: 
Ví dụ 2: Cho , (a, b ∊ ℤ). Giá trị của 3a + 2b là
, (a, b ∊ ℤ). Giá trị của 3a + 2b làA. 0
B. 1
C. 8
D. 10
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Khi thấy những bài tích phân có dạng 
thì ta sẽ biến đổi
⇒ ta sẽ tìm được A và B.
Khi đó: 
Áp dụng vào bài, ta có: 
Ví dụ 3: Tìm tất cả các số thức m dương thỏa mãn .
.A. m = 3
B. m = 2
C. m = 1
D. m > 3
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Ta có: 
Suy ra: 
Ta thấy chỉ có m = 1 thỏa mãn (*).
Dạng 2: Tích phân có chứa căn thức
Phương pháp
Lớp bài toán 1: 
thỏa (p + 1) ⋮ k, khi đó ta đặt 
Lớp bài toán 2: Đổi biến dạng lượng giác
Ta chú ý các nhận biết một số dấu hiệu và cách đổi biến tương ứng sau
Lớp bài toán 3: 
Hướng 1: theo dạng 2
Hướng 2: Hữu tỉ hóa. Sử dụng các phép biển đổi Euler
Với a > 0, đặt 
Với c > 0, đặt 
Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm x1, x2 thì đặt 
hoặc đặt 
Chú ý:
ta biến đổi về dạng 
ngoài cách giải chung bằng phép thế lượng giác ta còn có thể giải bằng phép thế đại số. Đặt 
hoặc 
hoặc t = mx + n hoặc 
Với dạng 
ta thường nhóm biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức rồi đưa về dạng: 
hoặc 
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Ví dụ 1: Trong các tích phân sau, tích phân nào không cùng giá trị với
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Đặt 
Đổi cận x = 1 thì t = 1; x = 2 thì t = 4.
Ví dụ 2: Tính tích phân ta được là phân số tối giản. Giá trị bằng
ta được 
là phân số tối giản. Giá trị A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Đặt 
Đổi biến: u (0) = 1; u (3) = 2
Khi đó ta có: 
Do đó: a = 116, b = 15. Suy ra: 
=
Ví dụ 3: Kết quả của tích phân là phân số tối giản. Giá trị P = a2 + b2 bằng
là phân số tối giản. Giá trị P = a2 + b2 bằngA. 2786
B. 2785
C. 2685
D. 2885
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Đặt 
Với x = 0 ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 3
Vậy 
Suy ra: a = 52, b = 9. Do đó: S = 2785.
Ví dụ 4: Tính tích phân: được kết quả I = a ln3 + b ln5, (a, b ∊ ℤ). Tổng a + b là
được kết quả I = a ln3 + b ln5, (a, b ∊ ℤ). Tổng a + b làA. 2
B. 3
C. –1
D. 1
Hướng dẫn giải
Đáp án D.
Đặt 
Đổi cận: x = 1 ⟶ u = 2; x = 5 ⟶ u = 4
Vậy 
Do đó a = 2; b = –1. Suy ra: a + b = 1.
Dạng 3: Tích phân lượng giác
Phương pháp
Nguyên hàm cơ bản cần nhớ với mọi số thức k ≠ 0
Mốt số lớp bài toán thường gặp
Lớp bài toán 1: Đưa về một hàm số lượng giác
I = ∫f (sinx) cosxdx = ∫f (t)dt
I = ∫f (cosx) sinxdx = –∫f (t)dt
Lớp bài toán 2: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
∫sinax.sinbx dx
∫cosax.cosbx dx
∫sinax.cosbx dx
Cách giải: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng:
Lớp bài toán 3: ∫sinn xdx; ∫cosn xdx (n ∊ ℕ; n ≥ 2)
Cách giải:
Nếu n chẵn thì dùng công thức hạ bậc để hạ đến hết bậc:
Nếu n lẻ thì tách ra lấy một thừa số và sử dụng các công thức:
cosxdx = d (sinx); sinxdx = –d (cosx)
Lớp bài toán 4:
Cách giải:
Đặt 
Lớp bài toán 5: 
Cách giải
Biến đổi: Tử = A (mẫu) + B (đạo hàm mẫu) + C rồi đưa về dạng 4 nếu C ≠ 0.
Chú ý: Trên đây chỉ là một vài trường hợp thường gặp. Trong thực tế có thẻ gặp nhiều dạng khác nữa, đòi hỏi phải linh hoạt vận dụng các kiến thức về lượng giác và các phương pháp tính nguyên hàm tích phân.
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Ví dụ 1: Cho tích phân . Giá trị a3 + b3 +1.
. Giá trị a3 + b3 +1.A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Ví dụ 2: Cho tích phân . Giá trị bằng
. Giá trị 
bằngA. 11
B. 
C. 4
D. 7
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Ví dụ 3: Cho tích phân . Giá trị A = 4a + 8b bằng
. Giá trị A = 4a + 8b bằngA. 0
B. 2
C. 1
D. –1
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Ví dụ 4: Cho tích phân . Giá trị sin6 a + cos6 a bằng
. Giá trị sin6 a + cos6 a bằngA. 
B. 
C. 1
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Ví dụ 5: Cho tích phân . Giá trị A = 6a + 15b bằng
. Giá trị A = 6a + 15b bằngA. 11
B. 4
C. 7
D. 3
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Ta có: 
Trong đó: 
Xét 
Đặt t = sin x, suy ra 
. Khi đó:
Vậy 
Dạng 4: Tích phân từng phần
Phương pháp
Cho u = u(x), v = v(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) ta có:
∫udv = uv – ∫vdu
Chú ý: Cho dãy “ưu tiên” các loại hàm như sau ‘logarit → đa thức → mũ, lượng giác’ và P(x), Q(x) là 2 trong các loại hàm số đó. Khi cần tính ∫P(x).Q(x) dx ta chọn từng phần theo nguyên tắc sau
Chọn u = Hàm được ưu tiên hơn
dv = phần còn lại
Ví dụ ∫ (2x + 1) ln (x – 1) dx ta chọn 
Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Kết quả phân tích , (b ∊ ℤ). Giá trị 3 + b là
, (b ∊ ℤ). Giá trị 3 + b làA. 3
B. 4
C. 5
D. 7
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Tính 
Tính 
Xem: 
Dùng công thức tích phân từng phần
Vậy: 
Ví dụ 2: Biết rằng tích phân , (a, b ∊ ℤ+). Giá trị ab bằng
, (a, b ∊ ℤ+). Giá trị ab bằngA. 1
B. –1
C. –15
D. 20
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Đặt u = (2x + 1) ⇒ du = 2dx
dv = ex dx ⇒ v = ex
Ví dụ 3: Tìm số thực m > 1 thỏa mãn
A. m = 2e
B. m = e
C. m = e2
D. m = e + 1
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Đặt 
Ví dụ 4: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng (0; +∞) và . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
trên khoảng (0; +∞) và 
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?A. I = F (6) – F (1)
B. I = F (6) – F (3)
C. I = F (9) – F (3)
D. I = F (4) – F (2)
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Xét 
Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 3, x = 3 ⇒ t = 9.
Suy ra: 
Ví dụ 5: Đặt , k nguyên dương. Ta có Ik < e – 2 khi:
, k nguyên dương. Ta có Ik < e – 2 khi:A. k ∊ {1; 2}
B. k ∊ {2; 3}
C. k ∊ {4; 1}
D. k ∊ {3; 4}
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Đặt 
Do k nguyên dương nên k ∊ {1; 2}.
Ví dụ 6: Cho tích phân . Giá trị A = 8a + b bằng
. Giá trị A = 8a + b bằngA. –3
B. 0
C. 1
D. 2
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Tính 
Đặt 
, chọn 
Vậy 
Ví dụ 7: Cho tích phân . Giá trị bằng
. Giá trị 
bằngA. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Đặt 
, chọn v = –cotx.
Vậy 
Ví dụ 8: Cho tích phân .
.Giá trị A = 32a + 4b + 2c bằng
A. –3
B. 2
C. –2
D. 1
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Tính 
Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = (tan2 x + 1) dx, chọn v = tanx.
Vậy 
Do đó: 
Dạng 5: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp
Bài toán: Tính tích phân 
(với g(x) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)
PP chung:
Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên [a; b]
Dựa vào dấu để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng (sử dụng tính chất 3 để tách)
Tính mỗi tích phân thành phần.
Đặc biệt: Tính tích phân 
Cách giải
Cách 1:
Cho f(x) = 0 tìm nghiệm trên [a; b]
Xét dấu của f(x) trên [a; b], dựa vào dấu của f(x) để tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng (sử dụng tính chất 3 để tách)
Tính mỗi tích phân thành phần.
Cách 2:
Cho f(x) = 0 tìm nghiệm trên [a; b] giả sử các nghiệm đó là x1; x2; … xn
(với x1 < x2 < … < xn).
Khi đó: 
Tính mỗi tích phân thành phần
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Ví dụ 1: là phân số tối giản. Giá trị a + b bằng
là phân số tối giản. Giá trị a + b bằngA. 11
B. 25
C. 100
D. 50
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Ví dụ 2: , (a ∊ ℕ*). Hỏi a3 là bao nhiêu?
, (a ∊ ℕ*). Hỏi a3 là bao nhiêu?A. 27
B. 64
C. 125
D. 8
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có: 
Với 
Với 
thì 
Với 
thì 
Ví dụ 3: Biết , với a, b là các số nguyên. Giá trị S = a – b bằng
, với a, b là các số nguyên. Giá trị S = a – b bằngA. 9
B. 11
C. 5
D. –3
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Ta có: 
Ví dụ 4: Cho tích phân và . Giá trị của a và b lần lượt là
và 
. Giá trị của a và b lần lượt làA. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án D.
Ví dụ 5: Tính tích phân , a > 0 ta được kết quả I = f(a). Khi đó tổng có giá trị bằng:
, a > 0 ta được kết quả I = f(a). Khi đó tổng 
có giá trị bằng:A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
TH1: Nếu a ≥ 1 khi đó 
TH2: Nếu 0 < a < 1 khi đó 
-1
Khi đó 
Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa và . Giá trị bằng
. Giá trị 
bằngA. 30
B. 32
C. 34
D. 36
Lời giải
Đáp án B
Xét 
Đặt u = 2x ⇒du = 2dx; x = 0 ⇒u = 0; x = 1 ⇒ u = 2.
Nên 
Xét 
Đặt v = 6x ⇒ dv = 6dx; x = 0 ⇒ v = 0; x = 2 ⇒ u = 2.
Nên 
Xét 
Tính 
Đặt t = 5|x| + 2.
Khi –2 < x < 5, t = 5x + 2 ⇒ dt = 5dx; x = 2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.
Vậy 
= 32.
Dạng 6: Tích phân siêu việt
Phương pháp
Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Xét tích phân . Sử dụng phương pháp đổi biến số với u = x2, tích phân I được biến đổi thành dạng nào sau đây:
. Sử dụng phương pháp đổi biến số với u = x2, tích phân I được biến đổi thành dạng nào sau đây:A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Ta có: 
Đặt 
Với x = 1 ⇒ u = 1 và 
Khi đó
Ví dụ 2: Biết rằng , (a, b, c ∊ ℤ). Giá trị của S = a + b + c bằng
, (a, b, c ∊ ℤ). Giá trị của S = a + b + c bằngA. 3
B. 2
C. 0
D. 4
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Đặt 
Do đó a = 1; b = –1; c = 0 ⇒ S = 0.
Ví dụ 3: Cho tích phân , (a, b ∊ ℕ*). Giá trị S = cos [(a + b) π] + sin [(a – b) π] bằng
, (a, b ∊ ℕ*). Giá trị S = cos [(a + b) π] + sin [(a – b) π] bằngA. 0
B. –1
C. 1
D. –4
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Đặt 
thì t = 2; x = 38 thì t = 3.
S = cos [(a + b) π] + sin [(a – b) π] = –1.
Ví dụ 4: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tính bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Do 
là một nguyên hàm của hàm số 
nên 
Tính 
. Đặt 
Khi đó: 
Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) và f (0) = f (1) = 1. Biết rằng: . Tính Q = a2017 + b2017.
. Tính Q = a2017 + b2017.A. Q = 22017 + 1
B. Q = 2
C. Q = 0
D. Q = 22017 – 1
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Đặt 
Do đó a = 1, b = –1.
Suy ra Q = a2017 + b2017 = 12017 + (–1)2017 = 0.
Vậy Q = 0.
Ví dụ 6: Tính tích phân
A. I = 0
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Tính tích phân 
Đặt x = –t ⇒ dx = –dt. Khi x = –2 thì t = 2; khi x = 2 thì t = –2.
Ta có 
Ví dụ 7: Biết với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S = m + n + p.
với m, n, p là các số nguyên dương. Tính tổng S = m + n + p.A. S = 6
B. S = 5
C. S = 7
C. S = 8
Hướng dẫn giải
Ta có 
Tính 
Đặt 
Đổi cận: Khi x = 0 thì t = π + e; khi x = 1 thì t = π + 2e.
Khi đó 
. Vậy S = 7.
Ví dụ 8: Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết . Giá trị của bằng
. Giá trị của A. 1
B. 6
C. 4
D. 3
Hướng dẫn giải
Đáp án D.
Do 
và 
Mặt khác 
và y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ
⇒ f(–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.
Xét I = 
. Đặt t = –x ⇒ dx = – dt
Ví dụ 9: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn . Tính tích phân .
. Tính tích phân 
.A. I = 3 + 2ln2 2
B. I = 2ln2 2
C. I = ln2 2
D. I = 2ln 2
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Ta có 
Xét 
Đặt 
Xét 
Do đó 
Dạng 7: Tích phân hàm ẩn
Phương pháp
Phương pháp chung cho loại toán này là áp dụng kỹ thuật đổi biến, phương pháp từng phần và kỹ thuật đạo hàm…, ngoài ra có một vài dạng đặc trưng sau:
Loại 1: Biểu thức tích phân đưa về dạng: u(x). f’(x) + u’(x) f(x) = h(x)
Cách giải
Ta có u(x) f’(x) + u’(x) f(x) = [u(x) f(x)]’
Do đó u(x) f’(x) + u’(x) f(x) = h(x) ⇔ [u(x) f(x)]’ = h(x)
Suy ra u(x) f(x) = ∫h(x) dx
Suy ra ta được f(x)
Loại 2: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) + f(x) = h(x)
Cách giải
Nhân hai vế với ex ⇒ ex. f’(x) + ex. f(x) = ex. h(x) ⇔ [ex. f(x)]’ = ex. h(x)
Suy ra ex. f(x) = ∫ex h(x) dx
Suy ra được f(x)
Loại 3: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) – f(x) = h(x)
Cách giải
Nhân hai vế với e–x ⇒ e–x. f’(x) + e–x. f(x) = e–x. h(x) ⇔ [e–x. f(x)]’ = e–x. h(x)
Suy ra e–x. f(x) = ∫e–x h(x) dx
Suy ra được f(x)
Loại 4: Biểu thức tích phân đưa về dạng: f’(x) + p(x) f(x) = h(x)
Cách giải
Nhân hai vế với 
Suy ra 
Suy ra được f(x)
Công thức 
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn 3 f(x) + x f’(x) = x2018 với mọi x ∊ [0; 1]. Tính .
.A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Từ giả thiết 3 f(x) + x f’(x) = x2018, nhân hai vế cho x2 ta được
3x2f(x) + x3f’(x) = x2020 ⇔ [x3f(x)]’ = x2020.
Suy ra 
Thay x = 0 vào hai vế ta được C = 0 ⇒ 
Vậy 
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 4], thỏa mãn với mọi x ∊ [0; 4]. Khẳng định nào sau đây đúng?
với mọi x ∊ [0; 4]. Khẳng định nào sau đây đúng?A. 
B. e4f (4) – f (0) = 3e
C. e4f (4) – f (0) = e4 – 1
D. e4f (4) – f (0) = 3
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Nhân hai vế cho ex để thu dược đạo hàm đúng, ta được
Suy ra 
Vậy
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn f’(x) – 2018 f(x) = 2018 x2017 e2018x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 2018. Giá trị f (1) bằng
A. 2018e–2018
B. 2017e2018
C. 2018e2018
D. 2019e2018
Hướng dẫn giải
Đáp án D.
Nhân hai vế cho e–2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được
f’(x) – 2018 f(x) = 2018 x2017 e2018x ⇔ [f(x) e–2018x]’ = 2018 x2017.
Suy ra f(x) e–2018 = ∫2018x2017 dx = x2018 +C.
Thay x = 0 vào hai vế ta được C = 2018 ⇒ f(x) = (x2018 + 2018) e2018x.
Vậy f (1) = 2019 e2018.
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn và f (0) = –2. Giá trị f (1) bằng
và f (0) = –2. Giá trị f (1) bằngA. e
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Nhân hai vế cho 
để thu được đạo hàm đúng, ta được
Suy ra 
Thay x = o vào hai vế ta được 
Vậy 
Ví dụ 5: xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn . Tích phân bằng
bằngA. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáo án C.
Ta có: 
(1).
Đặt t = 1 – x, thay vào (1), ta được: 
hay 
(2).
Từ (1) & (2), ta được: 
Do đó, ta có: 
Cách 2: Công thức
Lấy tích phân 2 vế ta được 
Chú ý: Ta có thể dùng công thức 
. Khi đó:
Từ suy ra
Ví dụ 6: Cho . Giá trị theo a là
. Giá trị 
theo a làA. 2a
B. 4a
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Đặt t = x2 + 1 ⇒ dt = 2x dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2.
Khi đó: 
Dạng 8: Bất đẳng thức tích phân
Phương pháp
Áp dụng các bất đẳng thức:
Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì 
Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và m ≤ f(x) ≤ M thì 
Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a; b] thì 
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi f(x) = k. g(x).
Bất đẳng thức AM – GM
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 0, và . Giá trị phân bằng
và 
. Giá trị phân 
bằngA. 1
B. 
C. 
D. 4
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Dùng tích phân từng phần ta có 
. Kết hợp với giả thiết f (1) = 0, ta suy ra 
Theo Holder 
Vậy đẳng thức xảy ra nên ta có f’(x) = kx3, thay vào ta được k = –7.
Suy ra 
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 1, và . Giá trị f (2) bằng
và 
. Giá trị f (2) bằngA. 2
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án D.
Theo Holder 
Vậy 
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = 2, f (0) = 0 và . Tích phân bằng
. Tích phân A. 0
B. 1011
C. 2018
D. 2022
Hướng dẫn giải
Đáp án B.
Theo Holder 
Vậy f(x) = 2x ⇒ 
= 1011.
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f’(x) liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (1) = e f (0) và . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án C.
Ta có 
Mà 
nên dấu “=” xảy ra, tức là 
Theo giả thiết f (1) = e f (0) nên ta có 
Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0; 1], có đạo hàm dương và liên tục trên [0; 1], thỏa mãn f (0) = 1 và . Giá trị bằng
bằngA. 
B. 2 (e2 – 1)
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Đáp án A.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có
Suy ra 
Mà 
nên dấu “=” xảy ra, tức là
Theo giả thiết 
Tài liệu công thức tích phân
Bạn có thể thực hành kiến thức của mình bằng cách làm thử các bài tập trắc nghiệm trong tài liệu tích phân dưới đây. Tài liệu bao gồm khá nhiều bài tập trắc nghiệm với nhiều dạng khác nhau.
| Thông tin tài liệu | |
| Tác giả | VerbaLearn |
| Số trang | 78 |
| Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu
- Lý thuyết tích phân
- Tích chất tích phân
- Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
- Dạng 2: Dùng tích chất cận trung gian để tính tích phân
- Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
- Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần
- Trắc nghiệm nhận biết thông hiểu
Trên đây là toàn bộ các dạng toán về công thức tích phân mà các bạn học sinh cần phải nắm chắc. Ngoài ra, việc thực hành các dạng bài tập theo từng tài liệu còn giúp các em nâng cao phản xạ và tính chính xác.
Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc độ nào đó, chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong cuộc sống và cần phải hiểu rõ về bản chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm giác rất may mắn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy có thể tiếp cận nhiều học sinh hơn.
