• Home
    • Promo Codes
    • Toán lớp 10
    • Toán lớp 11
    • Toán lớp 12

VerbaLearn

Kiến thức công nghệ, khoa học & đời sống

Home » Toán lớp 12

Môđun số phức: Lý thuyết & bài tập chi tiết

Lê Võ Dũng 23/05/2022 Toán lớp 12

Mục lục
1. Tính chất Môđun số phức
2. Một số dạng toán thường gặp

Tính chất Môđun số phức

Mô đun của số phức: Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của vec tơ được gọi là mô đun của số phức z. Kí hiệu:

Tính chất

Chú ý:

Lưu ý:

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| dấu bằng xảy ra ⇔ z1 = kz2 (k ≥ 0).

|z1 – z2| ≤ |z1| + |z2| dấu bằng xảy ra ⇔ z1 = kz2 (k ≤ 0).

|z1 + z2| ≥ ||z1| – |z2|| dấu bằng xảy ra ⇔ z1 = kz2 (k ≤ 0).

|z1 – z2| ≥ ||z1| – |z2|| dấu bằng xảy ra ⇔ z1 = kz2 (k ≥ 0).

|z1 + z2|2 + |z1 – z2|2 = 2 (|z1|2 + |z2|2)

Một số quỹ tích nên nhớ

Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn |z – a – bi| = |z|, tìm |z|Min. Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A (a; b)

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện |z – a – bi| = |z – c – di|. Tìm |z|min. Ta có

Quỹ tích điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A (a; b), B (c; d)

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1:

Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Khi đó ta biến đổi

Cho số phức thỏa mãn điều kiện |iz – a – bi| = |z – c – di|. Khi đó ta biến đổi

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – a – bi| = R > 0 (|z – z0| = R). Tìm |z|Max, |z|Min. Ta có

Quỹ tích điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (a; b) bán kính R

Lưu ý: Đề bài có thể ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (Chia hai vế cho |i|)

⇔ |a + b + ai| = R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Hay viết gọn (Chia cả hai vế cho |z0|)

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – c| + |z + c| = 2a, (a > c). Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M (x; y) biểu diễn số phức z là Elip:

TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – z1| + |z – z2| = 2a

Thỏa mãn 2a > |z1 – z2|.

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc

Ta có

Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn |z – 2 – 3i| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Đặt , khi đó ⇔ |w – 3 + 2i| = 1

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn (I; 1) và |w| là khoảng cách từ gốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn. Do đó giá trị lớn nhất của |w| chính là đoạn OQ .

Nhận xét: Ở đây ta sử dụng kiến thức sau:

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z – 6| + |z + 6| = 20. Gọi M, n lần lượt là mô đun lớn nhất và nhỏ nhất của z. Tính M – n

A. M – n = 2

B. M – n = 4

C. M – n = 7

D. M – n = 14

Lời giải

Gọi z = x + yi, (x, y ∊ ℝ). Theo giả thiết, ta có |z – 6| + |z + 6| = 20.

Gọi M (x; y), F1 (6; 0) và F2 (–6; 0).

Khi đó (*) ⇔ MF1 +MF2 = 20 > F1F2 = 12 nên tập hợp các điểm E là đường elip (E) có hai tiêu điểm F1 và F2. Và độ dài trục lớn bằng 20.

Ta có c = 6; 2a = 20 ⇔ a = 10 và b2 = a2 – c2 = 64 ⇒ b = 8.

Do đó, phương trình chính tắc của (E) là .

Suy ra max |z| = OA = OA’ = 10 khi z = ± 10 và min |z| = OB = OB’ = 8 khi z = ±8i.

Vậy M – n = 2.

Nhận xét: Ở trên ta đã sử dụng định nghĩa (E) để nhận dạng được phương trình elip

Câu 3: Xét số phức z = a + bi (a, b ∊ ℝ) thỏa mãn . Tính P = a + b khi |z + 1 – 3i| + |z – 1 + i| đạt giá trị lớn nhất.

A. P = 8

B. P = 10

C. P = 4

D. P = 6

Lời giải

Chọn B.

Gọi M (a; b) là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết ta có: ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (4; 3) bán kính

Gọi

Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D

Ta có: Q2 = MA2 + MB2 + 2MA.MB

⇔ Q2 ≤ MA2 + MB2 + MA2 + MB2 = 2 (MA2 + MB2)

Vì ME là trung tuyến trong ∆MAB

Mặt khác

Cách 2: Đặt z = a + bi. Theo giả thiết ta có: (a – 4)2 + (b – 5)2 = 5.

Đặt . Khi đó:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

Dấu bằng xảy ra khi .

Câu 4: Xét số phức z thỏa mãn thỏa mãn . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z – 1 + i|. Tính P = m + M.

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E (–2; 1), F (4; 7) và N (1; –1).

Từ AE + AF = và nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF.

Gọi H là hình chiếu của N lên EF, ta có . Suy ra P = NH + NF ⇒ .

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn |z – 2 – 2i| = 1. Số phức z – i có mô đun nhỏ nhất là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Cách 1:

Đặt w = z – i ⇒ z = w + i.

Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn hình học của số phức w.

Từ giả thiết |z – 2 – 2i| = 1 ta được:

|w + i – 2 – 2i| = 1 ⇔ |w – 2 – i| = 1 ⇔ | (x – 2) + (y – 1) i| = 1 ⇔ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 1.

Suy ra tập hợp những điểm M (x; y) biểu diễn cho số phức w là đường tròn (C) có tâm I (2; 1) bán kính R = 1.

Giả sử OI cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B với A nằm trong đoạn thẳng OI.

Ta có |w| = OM

Mà OM + MI ≥ OI ⇔ OM + MI ≥ OA + AI ⇔ OM ≥ OA

Nên |w| nhỏ nhất bằng .

Cách 2:

Từ |z – 2 – 2i| = 1 ⇒ (a – 2)2 + (b – 2)2 = 1 với z = a + bi (a, b ∊ ℝ)

a – 2 = sinx; b – 2 = cosx ⇒ a = 2 + sinx, b = 2 + cosx

Khi đó:

Nên |z – i| nhỏ nhất khi

Ta được

Cách 3:

Sử dụng bất đẳng thức ||z1| – |z2|| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

Câu 6: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của với z là số phức khác 0 và thỏa mãn |z| ≥ 2. Tính tỉ số .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Vậy

Câu 7: Xét tất cả các số phức z thỏa mãn |z – 3i + 4| = 1. Giá trị nhỏ nhất của |z2 + 7 – 24i| nằm trong khoảng nào?

A. (0; 1009)

B. (1009; 2018)

C. (2018; 4036)

D. (4036; +∞)

Lời giải

Chọn B.

Ta có 1 = |z – 3i + 4| ≥ ||z| – |3i – 4|| = ||z| – 5| ⇒ –1 ≤ |z| ≤ –5 ⇒ 4 ≤ z ≤ 6.

Đặt z0 = 4 – 3i ⇒ |z0| = 5; z02 = 7 – 24i.

Ta có

Mà

Suy ra

Hàm số xảy ra khi và chỉ khi

Do đó |z2 + 7 – 24i| nằm trong khoảng (1009; 2018).

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = |z – 2 – 2i|. Đặt A = M + m. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Giá sử: z = x + yi, (x, y ∊ ℝ) ⇒ N (x; y): điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Ta có

⇒ |x| + |y| = 2 ⇒ N thuộc các cạnh của hình vuông BCDF (hình vẽ).

  với I (2; 2)

Từ hình ta có: E (1; 1)

và

Vậy .

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 2 và w = 2z + 1 – i. Khi đó |w| có giá trị lớn nhất bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có

Vậy giá trị lớn nhất của |w| là .

Câu 10: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M’. Số phức z (4 + 3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N’. Biết rằng M, M’, N, N’ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z + 4i – 5|.

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Gọi z = x + yi, trong đó x, y ∊ ℝ. Khi đó , M (x; y), M’ (x; –y).

Ta đặt w = z (4 + 3i) = (x + yi) (4 + 3i) = (4x – 3y) + (3x + 4y) i ⇒ N (4x – 3y; 3x + 4y). Khi đó:

Ta có M và M’; N và N’ từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox. Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì yM = yN hoặc yM = yN’. Suy ra y = 3x + 4y hoặc y = –3x – 4y. Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng d1: x + y = 0 và d2: 3x + 5y = 0.

Đặt . Ta có P = MA với A (5; –4).

Pmin ⇔ MAmin ⇔ MA = d (A; d1) hoặc MA = d (A; d2). Mà .

Vậy Pmin = d (A; d1) =

Câu 11: Biết số phức z thỏa mãn |iz – 3| = |z – 2 – i| và |z| có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Đặt z = x + yi (x, y ∊ ℝ).

Khi đó

Lại có

Thay (1) vào (2) ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Thay vào (1) suy ra

Vậy phần thực của số phức z là .

Câu 12: Xét các số phức z thỏa mãn |z – 1 – 3i| = 2. Số phức z mà |z – 1| nhỏ nhất là

A. z = 1 + 5i

B. z = 1 + i

C. z = 1 + 3i

D. z = 1 – i

Lời giải

Chọn D.

Gọi z = x + yi (x, y ∊ ℝ). Khi đó M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo bài ra ta có |z – 1 – 3i| = 2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 3)2 = 4.

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I (1; 3) bán kính R = 2.

Khi đó

|z – 1| nhỏ nhất khi I’M ngắn nhất hay I, M, I’ thẳng hàng, M nằm giữa I và I’.

Phương trình đường thẳng II’ là x = 1.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng II’ với đường tròn tâm I bán kính R = 2 là M1 (1; 1) và M1 (1; 5).

Thử lại ta thấy M1 (1; 1) thỏa mãn. Vậy z = 1 + i.

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = |z – 2 – 2i|. Đặt A = M + m. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt z = x + yi và gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của z = x + iy

Ta có ⇔ |x| + |y| = 2

Gọi A (2; 2) và P = MA

Theo hình vẽ, min P = d (A, ∆), với ∆: x + y = 2 và

, với E (0; –2)

Vậy

Câu 14: Trong các số phức z thỏa mãn , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Gọi z = x + yi, (x, y ∊ ℝ) được biểu diễn bởi điểm M (x; y).

⇔ | (x – 1) + (y + 1) i| = | (x + 1) – (y + 2) i|

Cách 1:

Suy ra khi

Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là .

Cách 2:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 4x + 2y + 3 = 0.

Ta có |z| = OM. |z| nhỏ nhất ⇔ OM nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên d.

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phần ảo của số phức z có mô đun nhỏ nhất là .

Nhận xét: Ta có thể tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z như sau:

Gọi M biểu diễn số phức z, điểm A (1; –1) biểu diễn số phức 1 – i, điểm B (–1; –2) biểu diễn số phức –1 – 2i.

Khi đó (*) ⇔ MA ≡ MB. Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình d: 4x + 2y + 3 = 0.

Câu 15: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của |z1 – z2| là

A.

B.

C. 1

D.

Lời giải

Chọn A.

Giả sử z1 = x1 + y1i với x1; y2 ∊ ℝ. Khi đó:

⇒ Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 là đường thẳng ∆: x – y + 3 = 0.

Giả sử z2 = x2 + y2i với x2; y2 ∊ ℝ. Ta có:

⇒ Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 là đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 2y + 3 = 0 có tâm I (2; –1) và bán kính .

Khoảng cách từ I đến ∆ là: ⇒ đường thẳng ∆ và đường tròn C không có điểm chung.

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1 – z2 là đoạn thẳng MN. ⇒ |z1 – z2| nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất.

Dễ thấy .

Câu 16: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i|, (trong đó m ∊ ℝ). Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc S sao cho |z1 – z2| lớn nhất, khi đó giá trị của |z1 + z2| bằng

A. 2

B. 10

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt z = x + yi, (x, y ∊ ℝ). Khi đó

⇔ (x – 1)2 + y2 = 34; |z + 1 + mi| = |z + m + 2i| ⇔ 2 (m – 1) x + 2 (2 – m) y + 3 = 0.

Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là giao điểm của đường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 34 và đường thẳng d: 2 (m – 1) x + 2 (2 – m) y + 3 = 0.

Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1 và z2. Suy ra (C) ∩ d = {A; B}.

Mặt khác do đó .

Từ đó ta có nên

Vậy |z1 + z2| = 2.

Câu 17: Cho hai số phức z, w thỏa mãn . Biết rằng |z – w| đạt giá trị nhỏ nhất khi z = z0, w = w0. Tính |3z0 – w0|.

A.

B.

C. 1

D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

, suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm , bán kính .

, suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm , bán kính .

Ta có min |z – w| – min MN.

Mặt khác IM + MN + NJ ≥ IJ ⇒ MN ≥ IJ – IM – NJ hay .

Suy ra khi I, M, N, J thẳng hàng và M, N nằm giữa I, J (Hình vẽ).

Cách 1:

Khi đó ta có: và

Mặt khác

Suy ra

Cách 2:

Ta có

Do đó

Cách 3:

Suy ra

Câu 18: Cho hai số phức z và w thỏa mãn z + 2w = 8 – 6i và |z – w| = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z| + |w| bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Giả sử M, N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w. Suy ra , |z – w| = MN = 4 và Ò = 2OI = 10.

Đặt . Dựng hình bình hành OMFE

Ta có

Suy ra , dấu “=” xảy ra khi

Vậy (a + b) max =

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn |z| = |z + 1| + |z2 – z + 1|. Tính M.m

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Thay |z|2 = 1 vào P ta có

Mặt khác

Đặt do |z| = 1 nên điều kiện t ∊ [–2; 2].

Suy ra

Xét hàm số với t ∊ [–2; 2].

với t > 1. Suy ra f’ (t) > 0 với t > 1.

với t < 1. Suy ra

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra tại và tại

Vậy M. m =

Câu 20: Cho hai số phức z và ⍵ = a + bi thỏa mãn ; 5a – 4b – 20 = 0. Giá trị nhỏ nhất của |z – ⍵| là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt , vì nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuộc elip có

Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức ⍵ thuộc đường thẳng ∆: 5x – 4y – 20 = 0.

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M ∊ (E) và N ∊ ∆ sao cho MN nhỏ nhất.

Đường thẳng d song song với ∆ có dạng d: 5x – 4y + c = 0, (c ≠ –20).

d tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi

Với

Với

Vậy min (MN) =

Câu 21: Gọi z = a + bi (a, b ∊ ℝ) là số phức thỏa mãn điều kiện và có mô đun nhỏ nhất. Tính S = 7a + b?

A. 7

B. 0

C. 5

D. –12

Lời giải

Chọn A.

Gọi M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

A (1; 2) là điểm biểu diễn số phức (1 + 2i)

B (–2; 3) là điểm biểu diễn số phức (–2 + 3i), .

Sidebar chính

Footer

Liên hệ

  • Mã giảm giá & khuyến mãi: Promo Codes

Giới thiệu

  • Giới thiệu
  • Chính sách
  • Điều khoản
  • Thông cáo báo chí

Copyright © 2019–2023 by VerbaLearn