Bài viết giúp bạn tìm hiểu định nghĩa tích phân hàm ẩn, phân loại và một số bài tập mẫu thường gặp trong các đề thi. Từ đó giúp bạn cũng cố kiến thức tích phân và thuần thục nhiều dạng bài khác nhau.
Định nghĩa tích phân hàm ẩn
Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi và không được cho dưới dạng một công thức. Để tính được tích phân hàm ẩn, các bạn cần phân dạng chính xác và áp dụng các công thức phù hợp để giải quyết bài toàn một cách nhanh chóng nhất.
Phân dạng tích phân hàm ẩn
Dạng 1: Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp
Lý thuyết & phương pháp giải
Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì (uv)’ = u’v + uv’.
Nếu [f(x). g(x)]’ = h(x) thì f(x). g(x) = ∫h(x) dx.
Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn điều kiện f (1) = 3 và x (4 – f’(x)) = f(x) – 1, ∀x > 0. Giá trị của f (2) bằng
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết, ta có x (4 – f’(x)) = f(x) – 1 ⇒ x. f’(x) + f(x) = 4x + 1
⇒ [x. f(x)]’ = 4x + 1 ⇒ x. f(x) = ∫ (4x + 1) dx ⇒ x. f(x) = 2x2 + x + C.
Lại có f (1) = 3 ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = 2x + 1 ⇒ f (2) = 5.
Câu 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (–1; +∞) và thỏa mãn
với mọi x ∊ (–1; +∞). Giá trị của f (0) bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Từ giả thiết, ta có
Lại có (*) thỏa mãn với mọi x ∊ (–1; +∞) nên thay x = 1 vào (*) ta có C = –2.
Suy ra . Do đó
Câu 3: Cho hàm số f(x) thỏa mãn [f’(x)]2 + f(x). f’’(x) = 4x3 + 2x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 0. Giá trị của f 2 (x) bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: [f’(x)]2 + f(x). f’’(x) = [f(x). f’(x)]’. Từ giả thiết ta có: [f(x). f’(x)]’ = 4x3 + 2x
Suy ra: f(x). f’(x) = ∫ (4x3 + 2x) dx = x4 + x2 + C. Với f (0) = 0 ⇒ C = 0
Nên ta có: f(x). f’(x) = x4 + x2
Suy ra:
Câu 4: Cho hàm số f(x) thỏa mãn [x. f’(x)]2 + 1 = x2 [1 – f(x). f’’(x)] với mọi x dương. Biết f (1) = f’ (1) = 1. Giá trị f 2 (2) bằng
A.
B. f 2 (2) = 2 ln2 + 2
C. f 2 (2) = ln2 + 1
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Do đó:
Vì f (1) = f’ (1) = 1 ⇒ 1 = 2 + c1 ⇔ c1 = –1.
Nên
Vì
Vậy
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 3 f(x) + x. f’(x) ≥ x2018 ∀x ∊ [0;1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Xét hàm số: trên [0;1].
Ta có: g’(x) = 3x2f(x) + x3f’(x) – x2020 = x3. [3f(x) + x. f’(x) – x2018] ≥ 0 ∀x ∊ [0;1].
Do đó g(x) là hàm số không giản trên [0; 1], suy ra g(x) ≥ g (0) ∀x ∊ [0;1].
Hay
Vậy
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì với v ≠ 0.
Nếu thì
Hệ quả: Nếu u = u(x) thì với u ≠ 0.
Nếu thì
Câu 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn
và f’(x) = 2x [f(x)]2, ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng
A .
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Lại có
Câu 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn x2f’(x) + f(x) = 0 và f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞). Tính f (2) biết f (1) = e.
A. f (2) = e2
B.
C. f (2) = 2e2
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞) ⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (0; +∞)
⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (1; 2) ⇒ f (1). f (2) > 0, ∀x ∊ (1; 2).
Mà f (1) = e > 0 nên f (2) > 0.
Do đó
Suy ra
Câu 8: Cho hàm số f(x) thỏa mãn
và f’(x) = [x. f(x)]2 với mọi x ∊ ℝ. Giá trị f (2) bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết, ta có:
Lại có
Câu 9: Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện f (1) = 2, f(x) ≠ 0, ∀x > 0 và (x2 + 1)2f’(x) = [f(x)]2 (x2 – 1) với mọi x > 0. Giá trị của f (2) bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
Lấy tích phân 2 vế (*) trên [1; 2] ta được
Từ giả thiết, ta có:
Lại có
Câu 10: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f’(x) + 2x. f(x) = exf(x) với f(x) ≠ 0, ∀x và f (0) = 1. Khi đó |f (1)| bằng
A. e + 1
B. ee – 2
C. e – 1
D. ee + 1
Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết: f’(x) + 2x. f(x) = exf(x), ta có
(vì f(x) ≠ 0, ∀x)
Mà f (0) = 1 nên C = –1. Khi đó, ta được: ln |f(x)| = ex – x2 – 1.
Thế x = 1, ta có: ln |f (1) | = e – 2 ⇒ |f (1) | = ee – 2.
Dạng 2: Phương pháp đổi biến
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 1
Lý thuyết & phương pháp
Cho , tính
. Hoặc cho
, tính
.
Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t = u(x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.
Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho
. Tính 
A. 16
B. 4
C. 32
D. 8
Lời giải
Chọn D.
Xét tích phân . Đặt
. Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 2 thì t = 4.
Do đó .
Câu 2: Cho
. Tính
bằng
A. I = 1
B. I = 2
C. I = 4
D.
Lời giải
Chọn C.
Đặt ; đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2
Câu 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn
và
. Tính tích phân
.
A. I = –2
B. I = 6
C. I = 9
D. I = 2
Lời giải
Chọn B.
Xét I = , đặt
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 16 ⇒ t = 4 nên
J = ; đặt sinx = u ⇒ cosx dx = du
Đổi cận:
Vậy
Câu 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa
và
. Tính
.
A. 30
B. 32
C. 34
D. 36
Lời giải
Chọn B.
Xét . Đặt u = 2x ⇒ du = 2dx; x= 0 ⇒ u = 0; x = 1 ⇒ u = 2.
Nên .
Xét . Đặt v = 6x ⇒ dv = 6dx; x = 0 ⇒ v = 0; x = 2 ⇒ v = 12.
Nên .
Tính .
Đặt t = 5|x| + 2. Khi –2 < x < 0, t = –5x + 2 ⇒ dt = –5dx; x = –2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.
Tính
Đặt t = 5|x| + 2. Khi 0 < x < 2, t = 5x + 2 ⇒ dt = 5dx; x = 2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.
Vậy = 32.
Hoặc: Do hàm f (5|x| + 2) là hàm số chẵn nên
Câu 5: Cho
. Giá trị của
bằng
A. 2
B.
C.
D. –2
Lời giải
Chọn C.
Đặt
Đổi cận:
Khi đó:
Câu 6: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn
. Tính tích phân
.
A. I = 3 + 2 ln2 2
B. I = 2 ln2 2
C. I = ln2 2
D. I = 2 ln2
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Xét
Đặt
Xét
Do đó
Câu 7: Cho
và
. Tính
.
A. 26
B. 22
C. 27
D. 15
Lời giải
Chọn C.
Đặt
Ta có
Câu 8: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và
. Tính
.
A. I = 6
B. I = 2
C. I = 3
D. I = 1
Lời giải
Chọn A.
Từ ; Ta đặt t = tanx ta được
Từ
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 2
Lý thuyết & phương pháp
Tính , biết hàm số f(x) thỏa mãn: A.f(x) + B.u’. f(u) + C.f (a + b – x) = g(x).
Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai vế ta cần chú ý rằng:
Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C.
Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì
Với thì
Với thì
Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.
Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn
. Tính 
A. 2
B. 4
C. –1
D. 6
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: (Dùng công thức)
Biến đổi với A = 1, B = –2.
Áp dụng công thức ta có:
Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)
Từ
Đặt u = x3 ⇒ du = 3x2 dx; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x = 1 ⇒ u = 1.
Khi đó thay vào (*), ta được:
Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn điều kiện f(x) + f (2 – x) = 2x. Tính giá trị của tích phân
.
A. I = –4
B.
C.
D. I = 2
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: (Dùng công thức)
Với f(x) + f (2 – x) = 2x ta có A = 1; B = 1, suy ra:
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ
Đặt u = 2 – x ⇒ du = –dx; Với x = 0 ⇒ u = 2 và x = 2 ⇒ u = 0.
Suy ra
Thay vào (*), ta được
Câu 3: Xét hàm số liên tục trên [–1; 2] và thỏa mãn f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3. Tính giá trị của tích phân
.
A. I = 5
B.
C. I = 3
D. I = 15
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)
Với: f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3. Ta có:
A = 1; B = 1; C = 3 và u = x2 – 2 thỏa mãn . Khi đó áp dụng công thức ta có:
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3.
Đặt u = x2 – 2 ⇒ du = 2xdx; với x = –1 ⇒ u = –1 và x = 2 ⇒ u = 2.
Khi đó
Đặt t = 1 – x ⇒ dt = – dx; Với x = –1 ⇒ t = 2 và x = 2 ⇒ t = –1.
Khi đó
Thay (1), (2) vào (*) ta được:
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 3
Lý thuyết & Phương pháp
Lần lượt đặt t = u(x) và t = v(x) để giải hệ phương trường hai ẩn (trong đó có ẩn f(x) để suy ra hàm số f(x) (nếu u(x) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v(x)).
Các kết quả đặc biệt:
Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A2 ≠ B2 khi đó
Hệ quả 1 của (*):
Hệ quả 2 của (*): với g(x) là hàm số chẵn.
Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và
. Tính
.
A.
B. I = 1
C.
D. I = –1
Lời giải
Chọn A.
Đặt khi đó điều kiện trở thành
Hay , kết hợp với điều kiện
. Suy ra:
Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên
thỏa mãn
. Giá trị tích phân
bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Đặt
Đổi cận:
Ta có
Suy ra
Vậy I =
Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ \ {0} và thỏa mãn
. Tính
theo k.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Đặt . Đổi cận
Khi đó
Mà
Nên
Đặt . Đổi cận
Khi đó
Câu 4: Cho hàm số liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx. Tính giá trị của
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1: (Dùng công thức)
Với f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx ta có A = 1; B = 2018
Suy ra ⇒ Đáp án C
Cách 2:
Áp dụng hệ quả 2: với g(x) là hàm số chẵn.
Ta có f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx
Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = ex. Tính giá trị của 
A.
B.
C. I = 0
D.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1: (Dùng công thức).
Với f(–x) + 2018 f(x) = ex ta có A = 1, B = 2018.
Suy ra
Cách 2: (Dùng công thức)
Áp dụng Hệ quả 1:
Ta có:
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ, thỏa mãn 2 f(2x) + f (1 – x) = 12x2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1 là
A. y = 2x + 2
B. y = 4x – 6
C. y = 2x – 6
D. y = 4x – 2
Lời giải
Chọn D.
Áp dụng kết quả
“Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A2 ≠ B2 khi đó ”.
Ta có
Suy ra , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = 4x – 2.
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 4
Lý thuyết & phương pháp
Bài toán: Cho f(x). f (a + b – x) = k2, khi đó
Chứng minh
Đặt và x = a ⇒ t = b; x = b ⇒ t = a.
Khi đó:
Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương [0; 1]. Biết f(x). f (1 – x) = 1 với ∀x ∊ [0; 1]. Tính giá trị 
A.
B.
C. 1
D. 2
Lời giải
Chọn B.
Ta có
Xét
Đặt t = 1 – x ⇔ x = 1 – t ⇒ dx = – dt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0.
Khi đó
Mặt khác hay 2I = 1. Vậy I =
Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, ta có f(x) > 0 và f (0). f (2018 – x) = 1. Giá trị của tích phân 
A. I = 2018
B. I = 0
C. I = 1009
D. I = 4016
Lời giải
Chọn C.
Ta có
Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; 5]. Biết f(x). f (5 – x) = 1. Tính tích phân
.
A.
B.
C.
D. I = 10
Lời giải
Chọn C.
Đặt x = 5 – t ⇒ dx = –dt
x = 0 ⇒ t = 5; x = 5 ⇒ t = 0.
Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; a]. Biết f(x). f (a – x) = 1. Tính tích phân
.
A.
B. I = 2a
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
(1) Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx Đổi cận:
(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)
Câu 5: Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0; a] thỏa mãn
và
, trong đó b, c là hai số nguyên dương và
là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (11; 12)
B. (0; 9)
C. (7; 21)
D. (2017; 2020)
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0.
Lúc đó
Suy ra
Do đó
Cách 2: Chọn f(x) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết.
Dễ dàng tính được
Câu 6: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên [–1; 1] và f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Biết
và
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
B.
C.
Lời giải
Chọn B.
Nhớ 2 tính chất sau để làm trắc nghiệm nhanh
Nếu hàm số f(x) ‘chẵn’ thì
Nếu hàm f(x) ‘lẻ’ thì
Nếu chứng minh thì như sau:
Đặt
. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx
Đổi cận
(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)
(Do f(x) là hàm chẵn ⇒ f(–x) = f(x))
Vậy
Đặt
. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx
Đổi cận:
(Do tích phân không phụ thuộc vào biến số tích phân)
(Do f(x) là hàm chẵn ⇒ g(–x) = –g(x))
Vậy
Từ (1) và (2)
Chọn B.
Câu 7: Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [–4; 4] biết
và
. Tính
.
A. I = –10
B. I = –6
C. I = 6
D. I = 10
Lời giải
Chọn B.
Cách 1: Sử dụng công thức và tính chất
với f (0) là hàm lẻ trên đoạn [–a; a].
Áp dụng ta có:
Suy ra:
Cách 2: Xét tích phân .
Đặt –x = t ⇒ dx = –dt.
Đổi cận: khi x = –2 thì t = 2; khi x = 0 thì t = 0 do đó
.
Do hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên f (–2x) = –f (2x).
Do đó
Xét
Đặt
Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2; khi x = 2 thì t = 4 do đó
Do
Câu 8: Cho hàm số chẵn y = f(x) liên tục trên ℝ và
. Giá trị của
bằng:
A. 8
B. 2
C. 1
D. 16
Lời giải
Chọn D.
Ta có (1)
Xét :
Đặt t = –x ⇒ dt = –dx. Đổi cận: x = –1 ⇒ t = 1 và x = 0 ⇒ t = 0. Khi đó
Vì y = f(x) là hàm số chẵn trên ℝ nên f (–2t) = f (2t), ∀t ∊ ℝ.
Do đó . Thay vào (1) thu được
Câu 9: Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [–1; 1] và
. Kết quả
bằng
A. I = 1
B. I = 3
C. I = 2
D. I = 4
Lời giải
Chọn A.
Xét
Đặt x = –t ⇒ dx = –dt, đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = –1 ⇒ t = 1
Lại có
Suy ra:
Câu 10: Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết
. Giá trị của
bằng
A. 1
B. 6
C. 4
D. 3
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Sử dụng tính chất hàm số chẵn
Ta có: , với f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [–a; a].
Áp dụng ta có:
Cách 2: Do và
Mặt khác và y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ ⇒ f (–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.
Xét . Đặt t = –x ⇒ dx = –dt.
Suy ra
Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 5
Lý thuyết & phương pháp
Bài toàn: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn g [f(x)] = x và g(t) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên ℝ. Hãy tính tích phân ”
Cách giải:
Đặt y = f(x) ⇒ x = g(y) ⇒ dx = g’(y) dy
Đổi cận
Suy ra
Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f 3 (x) + f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính 
A. I = 2
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D.
Đặt y = f(x) ⇒ x = y3 + y ⇒ dx = (3y2 + 1) dy
Đổi cận
Khi đó ⇒ Đáp án D.
Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn 2f 3 (x) – 3f 2 (x) + 6f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính tích phân
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Đặt y = f(x) ⇒ x = 2y3 – 3y2 + 6y ⇒ dx = 6 (y2 – y + 1) dy.
Đổi cận: với x = 0 ⇒ 2y3 – 3y2 + 6y = 0 ⇔ y = 0 và x = 5 ⇒ 2y3 – 3y2 + 6y = 5 ⇔ y = 1.
Khi đó .
Câu 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn x + f 3 (x) + 2f(x) = 1, ∀x ∊ ℝ. Tính
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Đặt y = f(x) ⇒ x = –y3 – 2y + 1 ⇒ dx = (–3y2 – 2) dy.
Đổi cận: Với x = –2 ⇒ –y3 – 2y + 1 = –2 ⇔ y = 1; x = 1 ⇒ –y3 – 2y + 1 = 1 ⇔ y = 0.
Khi đó
Dạng 3: Phương pháp từng phần
Lý thuyết & phương pháp
Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau:
hoặc
Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn
và 2f (1) – f (0) = 2. Tính
.
A. I = 8
B. I = –8
C. I = 4
D. I = –4
Lời giải
Chọn B.
A = . Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx, dv = f’(x) dx chọn v = f(x)
Câu 2: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f (x3 + 3x + 1) = 3x + 2, ∀x ∊ ℝ. Tính
.
A.
B.
C.
D. –1761
Lời giải
Chọn C.
Đặt
Từ , suy ra
Đặt
Đổi cận: Với t = 1 ⇒ 1 = x3 + 3x + 1 ⇔ x = 0 và t = 5 ⇒ x3 + 3x + 1 = 5 ⇔ x = 1.
Khi đó
Câu 3: Cho hàm số y = f(x) với f (0) = f (1) = 1. Biết rằng
, a, b ∊ ℝ. Giá trị của biểu thức a2019 + b2019 bằng
A. 22018 + 1
B. 2
C. 0
D. 22018 – 1
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
Ta có
Đặt u = f(x), dv = ex dx; ta có du = f’(x)dx, v = ex.
Khi đó
Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.
Do đó a2019 + b2019 = 12019 + (–1)2019 = 0.
Cách 2:
Ta có
Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.
Do đó a2019 + b2019 = 12019 + (–1)2019 = 0.
Câu 4: Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f’ (0). f’ (2) ≠ 0 và g(x) f’(x) = x (x – 2) ex. Tính giá trị của tích phân
?
A. –4
B. e – 2
C. 4
D. 2 – e
Lời giải
Chọn C.
Ta có: g(x) f’(x) = x (x – 2) ex ⇒ g (0) = g (2) = 0 (vì f’ (0). f’ (2) ≠ 0)
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tích phân
bằng:
A. 4
B.
C.
D. 6
Lời giải
Chọn B.
Ta có: . Đặt
Câu 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn
; f (2) = 2. Tính
.
A. I = –5
B. I = –10
C. I = 5
D. I = 10
Lời giải
Chọn B.
Xét
Đặt u = x và , ta được du = dx và
Vì
Đặt 2t = 2x – 4 ⇒ 2dt = 2dx ⇔ dt = dx
Đổi cận:
Vậy I = –10.
Trường hợp riêng:
Khi đề bài cho biết giá trị f(a), f(b), (với u(x) là một biểu thức chứa x đã tường minh), để tìm f(x) trước tiên ta đi tìm 2 số α, β sao cho
, rồi suy ra f’(x) = – α. u(x) – β, sau đó nguyên hàm hai vế tìm f(x)
Câu 7: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 2], thỏa các điều kiện f (2) = 1 và
. Giá trị của
:
A. 1
B. 2
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Đặt
Ta lại có:
Do đó:
(Vì
)
Vậy
Câu 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0,
và
. Tích phân
bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Mặt khác:
Khi đó:
Vì nên
Dấu “=” xảy ra
Khi đó:
Dạng 4: Phương trình vi phân tiếp tuyến cấp 1
Lý thuyết & phương pháp
Bài toán 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) + p(x). f(x) = h(x)
Tìm P(x) = ∫p(x)dx
Nhân hai vế với ta được
Lấy tích phân hai vế ta được f(x) ep(x) ∫q(x) ep(x)dx. Từ đó suy ra f(x).
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) + f(x) = h(x)
Phương pháp
Nhân hai vế với ex ta được ex. f’(x) + ex. f(x) = ex. h(x) ⇔ [ex. f(x)]’ = ex. h(x)
Suy ra ex. f(x) = ∫ex. h(x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f(x)
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) – f(x) = h(x)
Phương pháp
Nhân hai vế với e–x ta được e–x. f’(x) – e–x. f(x) = e–x. h(x) ⇔ [e–x. f(x)]’ = e–x. h(x)
Suy ra e–x. f(x) = ∫e–x. h(x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f(x)
Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f (0) = 4 và f(x) + f’(x) = x3, ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng
A.
B. –10
C. –2
D.
Lời giải
Chọn D.
Từ giả thiết ta ex. f(x) + ex. f’(x) = x3 ex ⇒ [ex. f(x)]’ = x3 ex ⇒ exf(x) = ∫x3exdx
⇒ exf(x) = x3 ex – 3∫x2exdx = x3ex – 3x2ex + 6∫xexdx = x3ex = 3x2ex + 6 (x – 1) ex + C
Lại có
Câu 2: Cho f(x) thỏa mãn
và
, ∀x ∊ ℝ. Tính
.
A.
B. I = 2e – 1
C.
D. I = 2e + 1
Lời giải
Chọn C.
Ta có (e3xf(x))’ = e3x (f’(x) + 3x2f(x)) = e3x (15x4 + 12x) e–3x = 15x4 + 12x
Do đó: e3xf(x) = ∫ (15x4 + 12x) dx = 3x5 + 6x2 + C ⇒ f(x) = (3x5 + 6x2 + C) e–3x
Vì ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = (3x5 + 6x2) e–3x
Khi đó
Câu 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên ℝ thỏa mãn f’ (0) = f (0) = 1 và f(x) + 2 f’(x) + f’’(x) = x3 + 2x2, ∀x ∊ ℝ. Tích phân
bằng
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
Theo giả thiết ta có:
f(x) + f’(x) + (f’(x) + f’’(x)) = x3 + 2x2 ⇔ f(x) + f’(x) + (f(x) + f’(x))’ = x3 + 2x2
⇔ ex (f(x) + f’(x)) + ex (f(x) + f’(x))’ = ex (x3 + 2x2) ⇔ (ex (f(x) + f’(x))’ = ex (x3 + 2x2)
⇔ ex (f(x) + f’(x)) = ∫ex (x3 + 2x2) dx = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + C
Mặt khác f (0) = f’ (0) = 1 nên 1 + 1 = –2 + C ⇔ C = 4 ⇔ ex (f(x) + f’(x)) = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4
Do đó (exf(x))’ = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4
⇒ exf(x) = ∫ [ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4] dx = ex (x3 – 4x2 + 10x – 12) + 4x + C
f (0) = 1 ⇔ C = 13 ⇔ f(x) = (4x + 13) e–x + x3 – 4x2 + 10x – 12
Câu 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], f (0) = 1 và f’(x) = f(x) + ex + 1, ∀x ∊ [0; 1]. Tính 
A. 2e – 1
B. 2 (e – 1)
C. 1 – e
D. 1 – 2e
Lời giải
Chọn B.
Ta có f’(x) = f(x) + ex + 1 ⇔ f’(x) – f(x) = ex + 1 ⇔ e–xf’(x) – e–xf(x) = 1 + e–x
⇔ [e–xf(x)]’ = 1 + e–x ⇒ e–xf(x) = x – e–x + C ⇒ f(x) = xex – 1 + Cex.
Do f (0) = 1 ⇒ C = 2 ⇒ f(x) = (x + 1) ex – 1.
Do đó
Câu 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f’(x) = f(x) + x2 ex + 1, với mọi x ∊ ℝ, f (0) = –1. Tính f (3)?
A. 6e3 + 3
B. 6e2 + 3
C. 3e2 – 1
D. 9e3 – 1
Lời giải
Chọn D.
Ta có: f’(x) – f(x) = x2 ex + 1 ⇔ e–xf’(x) = x2 + e–x ⇔ (e–x f(x))’ = x2 + e–x.
Do đó
Câu 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn
, ∀x ∊ ℝ và f (1) = 4. Giá trị f (5) bằng
A. 3e12 – 1
B. 5e17
C. 5e17 – 1
D. 3e12
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Xét
Đặt
Câu 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f (1) = e và (x + 2) f(x) = x f’(x) – x3 với mọi x ∊ ℝ. Tính f (2).
A. 4e2 + 4e – 4
B. 4e2 – 2e – 4
C. 2e3 – 2e + 2
D. 4e2 – 4e + 2
Lời giải
Chọn A.
Biến đổi giả thiết
Mà
Vậy f (2) = –4 + 4e (e + 1) = 4e2 + 4e – 4.
Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có f’(x) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn
. Khi đó
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Nhân hai vế giả thiết với e3x ta được
Lấy tích phân từ 0 đếm 1 hai vế ta được
Câu 9: Trong những hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 3f(x) + x. f’(x) ≥ x2018. Giá trị nhỏ của
là
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A.
P(x) = 3ln x ⇒ eP(x) = x3.
Nhân hai vế của (*) cho x3 ta được x3f’(x) + 3x2f(x) ≥ x2019 ⇒ (x3f(x))’ ≥ x2020, đúng ∀x ∊ [0; 1]
Lấy tích phân từ 0 đến 2 vế có
Tài liệu tích phân hàm ẩn
Thông tin tài liệu | |
Tác giả | Thầy Đặng Việt Đông |
Số trang | 57 |
Lời giải chi tiết | Có |
Mục lục tài liệu
- Dạng 1: Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp
- Dạng 2: Phương pháp đổi biến (5 dạng)
- Dạng 3: Phương pháp từng phần
- Dạng 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1