Tích phân hàm ẩn: Lý thuyết & bài tập vận dụng [Kèm tài liệu]

Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn điều kiện f (1) = 3 và x (4 – f’(x)) = f(x) – 1, ∀x > 0. Giá trị của f (2) bằng

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết, ta có x (4 – f’(x)) = f(x) – 1 ⇒ x. f’(x) + f(x) = 4x + 1

⇒ [x. f(x)]’ = 4x + 1 ⇒ x. f(x) = ∫ (4x + 1) dx ⇒ x. f(x) = 2x² + x + C.

Lại có f (1) = 3 ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = 2x + 1 ⇒ f (2) = 5.

Câu 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (–1; +∞) và thỏa mãn với mọi x ∊ (–1; +∞). Giá trị của f (0) bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Từ giả thiết, ta có

Lại có (*) thỏa mãn với mọi x ∊ (–1; +∞) nên thay x = 1 vào (*) ta có C = –2.

Suy ra . Do đó

Câu 3: Cho hàm số f(x) thỏa mãn [f’(x)]² + f(x). f’’(x) = 4x³ + 2x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 0. Giá trị của f ² (x) bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: [f’(x)]² + f(x). f’’(x) = [f(x). f’(x)]’. Từ giả thiết ta có: [f(x). f’(x)]’ = 4x³ + 2x

Suy ra: f(x). f’(x) = ∫ (4x³ + 2x) dx = x⁴ + x² + C. Với f (0) = 0 ⇒ C = 0

Nên ta có: f(x). f’(x) = x⁴ + x²

Suy ra:

Câu 4: Cho hàm số f(x) thỏa mãn [x. f’(x)]² + 1 = x² [1 – f(x). f’’(x)] với mọi x dương. Biết f (1) = f’ (1) = 1. Giá trị f ² (2) bằng

A.

B. f ² (2) = 2 ln2 + 2

C. f ² (2) = ln2 + 1

D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Do đó:

Vì f (1) = f’ (1) = 1 ⇒ 1 = 2 + c₁ ⇔ c₁ = –1.

Nên

Vì

Vậy

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 3 f(x) + x. f’(x) ≥ x²⁰¹⁸ ∀x ∊ [0;1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Xét hàm số: trên [0;1].

Ta có: g’(x) = 3x²f(x) + x³f’(x) – x²⁰²⁰ = x³. [3f(x) + x. f’(x) – x²⁰¹⁸] ≥ 0 ∀x ∊ [0;1].

Do đó g(x) là hàm số không giản trên [0; 1], suy ra g(x) ≥ g (0) ∀x ∊ [0;1].

Hay

Vậy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì với v ≠ 0.

Nếu thì

Hệ quả: Nếu u = u(x) thì với u ≠ 0.

Nếu thì

Câu 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn và f’(x) = 2x [f(x)]², ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng

A .

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có

Lại có

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn x²f’(x) + f(x) = 0 và f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞). Tính f (2) biết f (1) = e.

A. f (2) = e²

B.

C. f (2) = 2e²

D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞) ⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (0; +∞)

⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (1; 2) ⇒ f (1). f (2) > 0, ∀x ∊ (1; 2).

Mà f (1) = e > 0 nên f (2) > 0.

Do đó

Suy ra

Câu 8: Cho hàm số f(x) thỏa mãn và f’(x) = [x. f(x)]² với mọi x ∊ ℝ. Giá trị f (2) bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết, ta có:

Lại có

Câu 9: Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện f (1) = 2, f(x) ≠ 0, ∀x > 0 và (x² + 1)²f’(x) = [f(x)]² (x² – 1) với mọi x > 0. Giá trị của f (2) bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có

Lấy tích phân 2 vế (*) trên [1; 2] ta được

Từ giả thiết, ta có:

Lại có

Câu 10: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f’(x) + 2x. f(x) = e^xf(x) với f(x) ≠ 0, ∀x và f (0) = 1. Khi đó |f (1)| bằng

A. e + 1

B. e^{e – 2}

C. e – 1

D. e^{e + 1}

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết: f’(x) + 2x. f(x) = e^xf(x), ta có

(vì f(x) ≠ 0, ∀x)

Mà f (0) = 1 nên C = –1. Khi đó, ta được: ln |f(x)| = e^x – x² – 1.

Thế x = 1, ta có: ln |f (1) | = e – 2 ⇒ |f (1) | = e^{e – 2}.

Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho . Tính

A. 16

B. 4

C. 32

D. 8

Lời giải

Chọn D.

Xét tích phân . Đặt . Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 2 thì t = 4.

Do đó .

Câu 2: Cho . Tính bằng

A. I = 1

B. I = 2

C. I = 4

D.

Lời giải

Chọn C.

Đặt ; đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2

Câu 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn và . Tính tích phân .

A. I = –2

B. I = 6

C. I = 9

D. I = 2

Lời giải

Chọn B.

Xét I = , đặt

Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 16 ⇒ t = 4 nên

J = ; đặt sinx = u ⇒ cosx dx = du

Đổi cận:

Vậy

Câu 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa và . Tính .

A. 30

B. 32

C. 34

D. 36

Lời giải

Chọn B.

Xét . Đặt u = 2x ⇒ du = 2dx; x= 0 ⇒ u = 0; x = 1 ⇒ u = 2.

Nên .

Xét . Đặt v = 6x ⇒ dv = 6dx; x = 0 ⇒ v = 0; x = 2 ⇒ v = 12.

Nên .

Tính .

Đặt t = 5|x| + 2. Khi –2 < x < 0, t = –5x + 2 ⇒ dt = –5dx; x = –2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.

Tính

Đặt t = 5|x| + 2. Khi 0 < x < 2, t = 5x + 2 ⇒ dt = 5dx; x = 2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.

Vậy = 32.

Hoặc: Do hàm f (5|x| + 2) là hàm số chẵn nên

Câu 5: Cho . Giá trị của bằng

A. 2

B.

C.

D. –2

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Đổi cận:

Khi đó:

Câu 6: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn . Tính tích phân .

A. I = 3 + 2 ln² 2

B. I = 2 ln² 2

C. I = ln² 2

D. I = 2 ln2

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Xét

Đặt

Xét

Do đó

Câu 7: Cho và . Tính .

A. 26

B. 22

C. 27

D. 15

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Ta có

Câu 8: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và . Tính .

A. I = 6

B. I = 2

C. I = 3

D. I = 1

Lời giải

Chọn A.

Từ ; Ta đặt t = tanx ta được

Từ

Câu 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn . Tính

A. 2

B. 4

C. –1

D. 6

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: (Dùng công thức)

Biến đổi với A = 1, B = –2.

Áp dụng công thức ta có:

Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)

Từ

Đặt u = x³ ⇒ du = 3x² dx; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x = 1 ⇒ u = 1.

Khi đó thay vào (*), ta được:

Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn điều kiện f(x) + f (2 – x) = 2x. Tính giá trị của tích phân .

A. I = –4

B.

C.

D. I = 2

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: (Dùng công thức)

Với f(x) + f (2 – x) = 2x ta có A = 1; B = 1, suy ra:

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ

Đặt u = 2 – x ⇒ du = –dx; Với x = 0 ⇒ u = 2 và x = 2 ⇒ u = 0.

Suy ra

Thay vào (*), ta được

Câu 3: Xét hàm số liên tục trên [–1; 2] và thỏa mãn f(x) + 2xf (x² – 2) + 3f (1 – x) = 4x³. Tính giá trị của tích phân .

A. I = 5

B.

C. I = 3

D. I = 15

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)

Với: f(x) + 2xf (x² – 2) + 3f (1 – x) = 4x³. Ta có:

A = 1; B = 1; C = 3 và u = x² – 2 thỏa mãn . Khi đó áp dụng công thức ta có:

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ f(x) + 2xf (x² – 2) + 3f (1 – x) = 4x³.

Đặt u = x² – 2 ⇒ du = 2xdx; với x = –1 ⇒ u = –1 và x = 2 ⇒ u = 2.

Khi đó

Đặt t = 1 – x ⇒ dt = – dx; Với x = –1 ⇒ t = 2 và x = 2 ⇒ t = –1.

Khi đó

Thay (1), (2) vào (*) ta được:

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và . Tính .

A.

B. I = 1

C.

D. I = –1

Lời giải

Chọn A.

Đặt khi đó điều kiện trở thành

Hay , kết hợp với điều kiện . Suy ra:

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên thỏa mãn . Giá trị tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt

Đổi cận:

Ta có

Suy ra

Vậy I = 

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ \ {0} và thỏa mãn . Tính theo k.

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt . Đổi cận

Khi đó

Mà

Nên

Đặt . Đổi cận

Khi đó

Câu 4: Cho hàm số liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx. Tính giá trị của .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: (Dùng công thức)

Với f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx ta có A = 1; B = 2018

Suy ra ⇒ Đáp án C

Cách 2:

Áp dụng hệ quả 2: với g(x) là hàm số chẵn.

Ta có f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = e^x. Tính giá trị của

A.

B.

C. I = 0

D.

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: (Dùng công thức).

Với f(–x) + 2018 f(x) = e^x ta có A = 1, B = 2018.

Suy ra

Cách 2: (Dùng công thức)

Áp dụng Hệ quả 1:

Ta có:

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ, thỏa mãn 2 f(2x) + f (1 – x) = 12x². Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. y = 2x + 2

B. y = 4x – 6

C. y = 2x – 6

D. y = 4x – 2

Lời giải

Chọn D.

Áp dụng kết quả

“Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A² ≠ B² khi đó ”.

Ta có

Suy ra , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = 4x – 2.

Câu 1: Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương [0; 1]. Biết f(x). f (1 – x) = 1 với ∀x ∊ [0; 1]. Tính giá trị

A.

B.

C. 1

D. 2

Lời giải

Chọn B.

Ta có

Xét

Đặt t = 1 – x ⇔ x = 1 – t ⇒ dx = – dt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0.

Khi đó

Mặt khác hay 2I = 1. Vậy I =

Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, ta có f(x) > 0 và f (0). f (2018 – x) = 1. Giá trị của tích phân

A. I = 2018

B. I = 0

C. I = 1009

D. I = 4016

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; 5]. Biết f(x). f (5 – x) = 1. Tính tích phân .

A.

B.

C.

D. I = 10

Lời giải

Chọn C.

Đặt x = 5 – t ⇒ dx = –dt

x = 0 ⇒ t = 5; x = 5 ⇒ t = 0.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; a]. Biết f(x). f (a – x) = 1. Tính tích phân .

A.

B. I = 2a

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

(1) Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx Đổi cận:

(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)

Câu 5: Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0; a] thỏa mãn và , trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (11; 12)

B. (0; 9)

C. (7; 21)

D. (2017; 2020)

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx

Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0.

Lúc đó

Suy ra

Do đó

Cách 2: Chọn f(x) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết.

Dễ dàng tính được

Câu 6: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên [–1; 1] và f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Biết và . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.

B.

C.

Lời giải

Chọn B.

Nhớ 2 tính chất sau để làm trắc nghiệm nhanh

Nếu hàm số f(x) ‘chẵn’ thì

Nếu hàm f(x) ‘lẻ’ thì

Nếu chứng minh thì như sau:

Đặt

. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx

Đổi cận

(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) (Do f(x) là hàm chẵn ⇒ f(–x) = f(x))

Vậy

Đặt

. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx

Đổi cận:

(Do tích phân không phụ thuộc vào biến số tích phân) (Do f(x) là hàm chẵn ⇒ g(–x) = –g(x))

Vậy

Từ (1) và (2)

Chọn B.

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [–4; 4] biết và . Tính .

A. I = –10

B. I = –6

C. I = 6

D. I = 10

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Sử dụng công thức và tính chất với f (0) là hàm lẻ trên đoạn [–a; a].

Áp dụng ta có:

Suy ra:

Cách 2: Xét tích phân .

Đặt –x = t ⇒ dx = –dt.

Đổi cận: khi x = –2 thì t = 2; khi x = 0 thì t = 0 do đó

.

Do hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên f (–2x) = –f (2x).

Do đó

Xét

Đặt

Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2; khi x = 2 thì t = 4 do đó

Do

Câu 8: Cho hàm số chẵn y = f(x) liên tục trên ℝ và . Giá trị của bằng:

A. 8

B. 2

C. 1

D. 16

Lời giải

Chọn D.

Ta có  (1)

Xét :

Đặt t = –x ⇒ dt = –dx. Đổi cận: x = –1 ⇒ t = 1 và x = 0 ⇒ t = 0. Khi đó

Vì y = f(x) là hàm số chẵn trên ℝ nên f (–2t) = f (2t), ∀t ∊ ℝ.

Do đó . Thay vào (1) thu được

Câu 9: Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [–1; 1] và . Kết quả bằng

A. I = 1

B. I = 3

C. I = 2

D. I = 4

Lời giải

Chọn A.

Xét

Đặt x = –t ⇒ dx = –dt, đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = –1 ⇒ t = 1

Lại có

Suy ra:

Câu 10: Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết . Giá trị của bằng

A. 1

B. 6

C. 4

D. 3

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Sử dụng tính chất hàm số chẵn

Ta có: , với f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [–a; a].

Áp dụng ta có:

Cách 2: Do và

Mặt khác và y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ ⇒ f (–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.

Xét . Đặt t = –x ⇒ dx = –dt.

Suy ra

Câu 1: Cho hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f ³ (x) + f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính

A. I = 2

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Đặt y = f(x) ⇒ x = y³ + y ⇒ dx = (3y² + 1) dy

Đổi cận

Khi đó ⇒ Đáp án D.

Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn 2f ³ (x) – 3f ² (x) + 6f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính tích phân .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Đặt y = f(x) ⇒ x = 2y³ – 3y² + 6y ⇒ dx = 6 (y² – y + 1) dy.

Đổi cận: với x = 0 ⇒ 2y³ – 3y² + 6y = 0 ⇔ y = 0 và x = 5 ⇒ 2y³ – 3y² + 6y = 5 ⇔ y = 1.

Khi đó .

Câu 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn x + f ³ (x) + 2f(x) = 1, ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt y = f(x) ⇒ x = –y³ – 2y + 1 ⇒ dx = (–3y² – 2) dy.

Đổi cận: Với x = –2 ⇒ –y³ – 2y + 1 = –2 ⇔ y = 1; x = 1 ⇒ –y³ – 2y + 1 = 1 ⇔ y = 0.

Khi đó

Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn và 2f (1) – f (0) = 2. Tính .

A. I = 8

B. I = –8

C. I = 4

D. I = –4

Lời giải

Chọn B.

A = . Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx, dv = f’(x) dx chọn v = f(x)

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f (x³ + 3x + 1) = 3x + 2, ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B.

C.

D. –1761

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Từ , suy ra

Đặt

Đổi cận: Với t = 1 ⇒ 1 = x³ + 3x + 1 ⇔ x = 0 và t = 5 ⇒ x³ + 3x + 1 = 5 ⇔ x = 1.

Khi đó

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) với f (0) = f (1) = 1. Biết rằng , a, b ∊ ℝ. Giá trị của biểu thức a²⁰¹⁹ + b²⁰¹⁹ bằng

A. 2²⁰¹⁸ + 1

B. 2

C. 0

D. 2²⁰¹⁸ – 1

Lời giải

Chọn C.

Cách 1:

Ta có

Đặt u = f(x), dv = e^x dx; ta có du = f’(x)dx, v = e^x.

Khi đó

Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.

Do đó a²⁰¹⁹ + b²⁰¹⁹ = 1²⁰¹⁹ + (–1)²⁰¹⁹ = 0.

Cách 2:

Ta có

Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.

Do đó a²⁰¹⁹ + b²⁰¹⁹ = 1²⁰¹⁹ + (–1)²⁰¹⁹ = 0.

Câu 4: Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f’ (0). f’ (2) ≠ 0 và g(x) f’(x) = x (x – 2) e^x. Tính giá trị của tích phân ?

A. –4

B. e – 2

C. 4

D. 2 – e

Lời giải

Chọn C.

Ta có: g(x) f’(x) = x (x – 2) e^x ⇒ g (0) = g (2) = 0 (vì f’ (0). f’ (2) ≠ 0)

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn và . Tích phân bằng:

A. 4

B.

C.

D. 6

Lời giải

Chọn B.

Ta có: . Đặt

Câu 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn ; f (2) = 2. Tính .

A. I = –5

B. I = –10

C. I = 5

D. I = 10

Lời giải

Chọn B.

Xét

Đặt u = x và , ta được du = dx và

Vì

Đặt 2t = 2x – 4 ⇒ 2dt = 2dx ⇔ dt = dx

Đổi cận:

Vậy I = –10.

Trường hợp riêng:

Khi đề bài cho biết giá trị f(a), f(b), (với u(x) là một biểu thức chứa x đã tường minh), để tìm f(x) trước tiên ta đi tìm 2 số α, β sao cho , rồi suy ra f’(x) = – α. u(x) – β, sau đó nguyên hàm hai vế tìm f(x)

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 2], thỏa các điều kiện f (2) = 1 và . Giá trị của :

A. 1

B. 2

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Ta lại có:

Do đó:

(Vì )

Vậy

Câu 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, và . Tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

Mặt khác:

Khi đó:

Vì nên

Dấu “=” xảy ra

Khi đó:

Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f (0) = 4 và f(x) + f’(x) = x³, ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng

A.

B. –10

C. –2

D.

Lời giải

Chọn D.

Từ giả thiết ta e^x. f(x) + e^x. f’(x) = x³ e^x ⇒ [e^x. f(x)]’ = x³ e^x ⇒ e^xf(x) = ∫x³e^xdx

⇒ e^xf(x) = x³ e^x – 3∫x²e^xdx = x³e^x – 3x²e^x + 6∫xe^xdx = x³e^x = 3x²e^x + 6 (x – 1) e^x + C

Lại có

Câu 2: Cho f(x) thỏa mãn và , ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B. I = 2e – 1

C.

D. I = 2e + 1

Lời giải

Chọn C.

Ta có (e^3xf(x))’ = e^3x (f’(x) + 3x²f(x)) = e^3x (15x⁴ + 12x) e^–3x = 15x⁴ + 12x

Do đó: e^3xf(x) = ∫ (15x⁴ + 12x) dx = 3x⁵ + 6x² + C ⇒ f(x) = (3x⁵ + 6x² + C) e^–3x

Vì ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = (3x⁵ + 6x²) e^–3x

Khi đó

Câu 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên ℝ thỏa mãn f’ (0) = f (0) = 1 và f(x) + 2 f’(x) + f’’(x) = x³ + 2x², ∀x ∊ ℝ. Tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Theo giả thiết ta có:

f(x) + f’(x) + (f’(x) + f’’(x)) = x³ + 2x² ⇔ f(x) + f’(x) + (f(x) + f’(x))’ = x³ + 2x²

⇔ e^x (f(x) + f’(x)) + e^x (f(x) + f’(x))’ = e^x (x³ + 2x²) ⇔ (e^x (f(x) + f’(x))’ = e^x (x³ + 2x²)

⇔ e^x (f(x) + f’(x)) = ∫e^x (x³ + 2x²) dx = e^x (x³ – x² + 2x – 2) + C

Mặt khác f (0) = f’ (0) = 1 nên 1 + 1 = –2 + C ⇔ C = 4 ⇔ e^x (f(x) + f’(x)) = e^x (x³ – x² + 2x – 2) + 4

Do đó (e^xf(x))’ = e^x (x³ – x² + 2x – 2) + 4

⇒ e^xf(x) = ∫ [e^x (x³ – x² + 2x – 2) + 4] dx = e^x (x³ – 4x² + 10x – 12) + 4x + C

f (0) = 1 ⇔ C = 13 ⇔ f(x) = (4x + 13) e^–x + x³ – 4x² + 10x – 12

Câu 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], f (0) = 1 và f’(x) = f(x) + e^x + 1, ∀x ∊ [0; 1]. Tính

A. 2e – 1

B. 2 (e – 1)

C. 1 – e

D. 1 – 2e

Lời giải

Chọn B.

Ta có f’(x) = f(x) + e^x + 1 ⇔ f’(x) – f(x) = e^x + 1 ⇔ e^–xf’(x) – e^–xf(x) = 1 + e^–x

⇔ [e^–xf(x)]’ = 1 + e^–x ⇒ e^–xf(x) = x – e^–x + C ⇒ f(x) = xe^x – 1 + Ce^x.

Do f (0) = 1 ⇒ C = 2 ⇒ f(x) = (x + 1) e^x – 1.

Do đó

Câu 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f’(x) = f(x) + x² e^x + 1, với mọi x ∊ ℝ, f (0) = –1. Tính f (3)?

A. 6e³ + 3

B. 6e² + 3

C. 3e² – 1

D. 9e³ – 1

Lời giải

Chọn D.

Ta có: f’(x) – f(x) = x² e^x + 1 ⇔ e^–xf’(x) = x² + e^–x ⇔ (e^–x f(x))’ = x² + e^–x.

Do đó

Câu 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn , ∀x ∊ ℝ và f (1) = 4. Giá trị f (5) bằng

A. 3e¹² – 1

B. 5e¹⁷

C. 5e¹⁷ – 1

D. 3e¹²

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Xét

Đặt

Câu 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f (1) = e và (x + 2) f(x) = x f’(x) – x³ với mọi x ∊ ℝ. Tính f (2).

A. 4e² + 4e – 4

B. 4e² – 2e – 4

C. 2e³ – 2e + 2

D. 4e² – 4e + 2

Lời giải

Chọn A.

Biến đổi giả thiết

Mà

Vậy f (2) = –4 + 4e (e + 1) = 4e² + 4e – 4.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có f’(x) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn . Khi đó

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

Nhân hai vế giả thiết với e^3x ta được

Lấy tích phân từ 0 đếm 1 hai vế ta được

Câu 9: Trong những hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 3f(x) + x. f’(x) ≥ x²⁰¹⁸. Giá trị nhỏ của là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

P(x) = 3ln x ⇒ e^P(x) = x³.

Nhân hai vế của (*) cho x³ ta được x³f’(x) + 3x²f(x) ≥ x²⁰¹⁹ ⇒ (x³f(x))’ ≥ x²⁰²⁰, đúng ∀x ∊ [0; 1]

Lấy tích phân từ 0 đến 2 vế có