• Home
    • Promo Codes
    • Toán lớp 10
    • Toán lớp 11
    • Toán lớp 12

VerbaLearn

Kiến thức công nghệ, khoa học & đời sống

Home » Toán lớp 12

Tích phân hàm ẩn: Lý thuyết & bài tập vận dụng [Kèm tài liệu]

Lê Võ Dũng 22/05/2022 Toán lớp 12

Bài viết giúp bạn tìm hiểu định nghĩa tích phân hàm ẩn, phân loại và một số bài tập mẫu thường gặp trong các đề thi. Từ đó giúp bạn cũng cố kiến thức tích phân và thuần thục nhiều dạng bài khác nhau.

Bài học liên quan
  • Tổng quan tích phân
  • Công thức tích phân
  • Ứng dụng tích phân
  • Tích phân suy rộng
Mục lục
1. Định nghĩa tích phân hàm ẩn
2. Phân dạng tích phân hàm ẩn
3. Tài liệu tích phân hàm ẩn

Định nghĩa tích phân hàm ẩn

Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà ở đó hàm số bị ẩn đi và không được cho dưới dạng một công thức. Để tính được tích phân hàm ẩn, các bạn cần phân dạng chính xác và áp dụng các công thức phù hợp để giải quyết bài toàn một cách nhanh chóng nhất.

Tích phân hàm ẩn

Phân dạng tích phân hàm ẩn

Dạng 1: Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp

Lý thuyết & phương pháp giải

Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì (uv)’ = u’v + uv’.

Nếu [f(x). g(x)]’ = h(x) thì f(x). g(x) = ∫h(x) dx.

Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn điều kiện f (1) = 3 và x (4 – f’(x)) = f(x) – 1, ∀x > 0. Giá trị của f (2) bằng

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết, ta có x (4 – f’(x)) = f(x) – 1 ⇒ x. f’(x) + f(x) = 4x + 1

⇒ [x. f(x)]’ = 4x + 1 ⇒ x. f(x) = ∫ (4x + 1) dx ⇒ x. f(x) = 2x2 + x + C.

Lại có f (1) = 3 ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = 2x + 1 ⇒ f (2) = 5.

Câu 2: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (–1; +∞) và thỏa mãn với mọi x ∊ (–1; +∞). Giá trị của f (0) bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Từ giả thiết, ta có

Lại có (*) thỏa mãn với mọi x ∊ (–1; +∞) nên thay x = 1 vào (*) ta có C = –2.

Suy ra . Do đó

Câu 3: Cho hàm số f(x) thỏa mãn [f’(x)]2 + f(x). f’’(x) = 4x3 + 2x với mọi x ∊ ℝ và f (0) = 0. Giá trị của f 2 (x) bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: [f’(x)]2 + f(x). f’’(x) = [f(x). f’(x)]’. Từ giả thiết ta có: [f(x). f’(x)]’ = 4x3 + 2x

Suy ra: f(x). f’(x) = ∫ (4x3 + 2x) dx = x4 + x2 + C. Với f (0) = 0 ⇒ C = 0

Nên ta có: f(x). f’(x) = x4 + x2

Suy ra:

Câu 4: Cho hàm số f(x) thỏa mãn [x. f’(x)]2 + 1 = x2 [1 – f(x). f’’(x)] với mọi x dương. Biết f (1) = f’ (1) = 1. Giá trị f 2 (2) bằng

A.

B. f 2 (2) = 2 ln2 + 2

C. f 2 (2) = ln2 + 1

D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Do đó:

Vì f (1) = f’ (1) = 1 ⇒ 1 = 2 + c1 ⇔ c1 = –1.

Nên

Vì

Vậy

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn 3 f(x) + x. f’(x) ≥ x2018 ∀x ∊ [0;1]. Tìm giá trị nhỏ nhất của .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Xét hàm số: trên [0;1].

Ta có: g’(x) = 3x2f(x) + x3f’(x) – x2020 = x3. [3f(x) + x. f’(x) – x2018] ≥ 0 ∀x ∊ [0;1].

Do đó g(x) là hàm số không giản trên [0; 1], suy ra g(x) ≥ g (0) ∀x ∊ [0;1].

Hay

Vậy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Quy tắc: Nếu u = u(x) và v = v(x) thì với v ≠ 0.

Nếu thì

Hệ quả: Nếu u = u(x) thì với u ≠ 0.

Nếu thì

Câu 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn và f’(x) = 2x [f(x)]2, ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng

A .

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có

Lại có

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn x2f’(x) + f(x) = 0 và f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞). Tính f (2) biết f (1) = e.

A. f (2) = e2

B.

C. f (2) = 2e2

D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: f(x) ≠ 0, ∀x ∊ (0; +∞) ⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (0; +∞)

⇒ f(x) = 0 không có nghiệm trên khoảng (1; 2) ⇒ f (1). f (2) > 0, ∀x ∊ (1; 2).

Mà f (1) = e > 0 nên f (2) > 0.

Do đó

Suy ra

Câu 8: Cho hàm số f(x) thỏa mãn và f’(x) = [x. f(x)]2 với mọi x ∊ ℝ. Giá trị f (2) bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết, ta có:

Lại có

Câu 9: Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện f (1) = 2, f(x) ≠ 0, ∀x > 0 và (x2 + 1)2f’(x) = [f(x)]2 (x2 – 1) với mọi x > 0. Giá trị của f (2) bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có

Lấy tích phân 2 vế (*) trên [1; 2] ta được

Từ giả thiết, ta có:

Lại có

Câu 10: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f’(x) + 2x. f(x) = exf(x) với f(x) ≠ 0, ∀x và f (0) = 1. Khi đó |f (1)| bằng

A. e + 1

B. ee – 2

C. e – 1

D. ee + 1

Lời giải

Chọn B.

Từ giả thiết: f’(x) + 2x. f(x) = exf(x), ta có

(vì f(x) ≠ 0, ∀x)

Mà f (0) = 1 nên C = –1. Khi đó, ta được: ln |f(x)| = ex – x2 – 1.

Thế x = 1, ta có: ln |f (1) | = e – 2 ⇒ |f (1) | = ee – 2.

Dạng 2: Phương pháp đổi biến

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 1

Lý thuyết & phương pháp

Cho , tính . Hoặc cho , tính .

Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t = u(x) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.

Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho . Tính

A. 16

B. 4

C. 32

D. 8

Lời giải

Chọn D.

Xét tích phân . Đặt . Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 2 thì t = 4.

Do đó .

Câu 2: Cho . Tính bằng

A. I = 1

B. I = 2

C. I = 4

D.

Lời giải

Chọn C.

Đặt ; đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 4 ⇒ t = 2

Câu 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn và . Tính tích phân .

A. I = –2

B. I = 6

C. I = 9

D. I = 2

Lời giải

Chọn B.

Xét I = , đặt

Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 16 ⇒ t = 4 nên

J = ; đặt sinx = u ⇒ cosx dx = du

Đổi cận:

Vậy

Câu 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa và . Tính .

A. 30

B. 32

C. 34

D. 36

Lời giải

Chọn B.

Xét . Đặt u = 2x ⇒ du = 2dx; x= 0 ⇒ u = 0; x = 1 ⇒ u = 2.

Nên .

Xét . Đặt v = 6x ⇒ dv = 6dx; x = 0 ⇒ v = 0; x = 2 ⇒ v = 12.

Nên .

Tính .

Đặt t = 5|x| + 2. Khi –2 < x < 0, t = –5x + 2 ⇒ dt = –5dx; x = –2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.

Tính

Đặt t = 5|x| + 2. Khi 0 < x < 2, t = 5x + 2 ⇒ dt = 5dx; x = 2 ⇒ t = 12; x = 0 ⇒ t = 2.

Vậy = 32.

Hoặc: Do hàm f (5|x| + 2) là hàm số chẵn nên

Câu 5: Cho . Giá trị của bằng

A. 2

B.

C.

D. –2

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Đổi cận:

Khi đó:

Câu 6: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn . Tính tích phân .

A. I = 3 + 2 ln2 2

B. I = 2 ln2 2

C. I = ln2 2

D. I = 2 ln2

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Xét

Đặt

Xét

Do đó

Câu 7: Cho và . Tính .

A. 26

B. 22

C. 27

D. 15

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Ta có

Câu 8: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và . Tính .

A. I = 6

B. I = 2

C. I = 3

D. I = 1

Lời giải

Chọn A.

Từ ; Ta đặt t = tanx ta được

Từ

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 2

Lý thuyết & phương pháp

Tính , biết hàm số f(x) thỏa mãn: A.f(x) + B.u’. f(u) + C.f (a + b – x) = g(x).

Đối với loại bài tập này, trước khi lấy tích phân hai vế ta cần chú ý rằng:

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C.

Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì

Với thì

Với thì

Học sinh có thể nhớ công thức hoặc thực hiện hai lần đổi biến khác nhau như dạng 1.

Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 1] thỏa mãn . Tính

A. 2

B. 4

C. –1

D. 6

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: (Dùng công thức)

Biến đổi với A = 1, B = –2.

Áp dụng công thức ta có:

Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức)

Từ

Đặt u = x3 ⇒ du = 3x2 dx; Với x = 0 ⇒ u = 0 và x = 1 ⇒ u = 1.

Khi đó thay vào (*), ta được:

Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 2] và thỏa mãn điều kiện f(x) + f (2 – x) = 2x. Tính giá trị của tích phân .

A. I = –4

B.

C.

D. I = 2

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: (Dùng công thức)

Với f(x) + f (2 – x) = 2x ta có A = 1; B = 1, suy ra:

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ

Đặt u = 2 – x ⇒ du = –dx; Với x = 0 ⇒ u = 2 và x = 2 ⇒ u = 0.

Suy ra

Thay vào (*), ta được

Câu 3: Xét hàm số liên tục trên [–1; 2] và thỏa mãn f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3. Tính giá trị của tích phân .

A. I = 5

B.

C. I = 3

D. I = 15

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2)

Với: f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3. Ta có:

A = 1; B = 1; C = 3 và u = x2 – 2 thỏa mãn . Khi đó áp dụng công thức ta có:

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)

Từ f(x) + 2xf (x2 – 2) + 3f (1 – x) = 4x3.

Đặt u = x2 – 2 ⇒ du = 2xdx; với x = –1 ⇒ u = –1 và x = 2 ⇒ u = 2.

Khi đó

Đặt t = 1 – x ⇒ dt = – dx; Với x = –1 ⇒ t = 2 và x = 2 ⇒ t = –1.

Khi đó

Thay (1), (2) vào (*) ta được:

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 3

Lý thuyết & Phương pháp

Lần lượt đặt t = u(x) và t = v(x) để giải hệ phương trường hai ẩn (trong đó có ẩn f(x) để suy ra hàm số f(x) (nếu u(x) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v(x)).

Các kết quả đặc biệt:

Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A2 ≠ B2 khi đó

Hệ quả 1 của (*):

Hệ quả 2 của (*): với g(x) là hàm số chẵn.

Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và . Tính .

A.

B. I = 1

C.

D. I = –1

Lời giải

Chọn A.

Đặt khi đó điều kiện trở thành

Hay , kết hợp với điều kiện . Suy ra:

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên thỏa mãn . Giá trị tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt

Đổi cận:

Ta có

Suy ra

Vậy I = 

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ \ {0} và thỏa mãn . Tính theo k.

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt . Đổi cận

Khi đó

Mà

Nên

Đặt . Đổi cận

Khi đó

Câu 4: Cho hàm số liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx. Tính giá trị của .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Cách 1: (Dùng công thức)

Với f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx ta có A = 1; B = 2018

Suy ra ⇒ Đáp án C

Cách 2:

Áp dụng hệ quả 2: với g(x) là hàm số chẵn.

Ta có f(–x) + 2018 f(x) = 2x sinx

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f(–x) + 2018 f(x) = ex. Tính giá trị của

A.

B.

C. I = 0

D.

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: (Dùng công thức).

Với f(–x) + 2018 f(x) = ex ta có A = 1, B = 2018.

Suy ra

Cách 2: (Dùng công thức)

Áp dụng Hệ quả 1:

Ta có:

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ, thỏa mãn 2 f(2x) + f (1 – x) = 12x2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. y = 2x + 2

B. y = 4x – 6

C. y = 2x – 6

D. y = 4x – 2

Lời giải

Chọn D.

Áp dụng kết quả

“Cho A. f (ax + b) + B. f (–ax + c) = g(x) với A2 ≠ B2 khi đó ”.

Ta có

Suy ra , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y = 4x – 2.

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 4

Lý thuyết & phương pháp

Bài toán: Cho f(x). f (a + b – x) = k2, khi đó

Chứng minh

Đặt và x = a ⇒ t = b; x = b ⇒ t = a.

Khi đó:

Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương [0; 1]. Biết f(x). f (1 – x) = 1 với ∀x ∊ [0; 1]. Tính giá trị

A.

B.

C. 1

D. 2

Lời giải

Chọn B.

Ta có

Xét

Đặt t = 1 – x ⇔ x = 1 – t ⇒ dx = – dt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0.

Khi đó

Mặt khác hay 2I = 1. Vậy I =

Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, ta có f(x) > 0 và f (0). f (2018 – x) = 1. Giá trị của tích phân

A. I = 2018

B. I = 0

C. I = 1009

D. I = 4016

Lời giải

Chọn C.

Ta có

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; 5]. Biết f(x). f (5 – x) = 1. Tính tích phân .

A.

B.

C.

D. I = 10

Lời giải

Chọn C.

Đặt x = 5 – t ⇒ dx = –dt

x = 0 ⇒ t = 5; x = 5 ⇒ t = 0.

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f(x) > 0 khi x ∊ [0; a]. Biết f(x). f (a – x) = 1. Tính tích phân .

A.

B. I = 2a

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

(1) Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx Đổi cận:

(2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân)

Câu 5: Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0; a] thỏa mãn và , trong đó b, c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (11; 12)

B. (0; 9)

C. (7; 21)

D. (2017; 2020)

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Đặt t = a – x ⇒ dt = –dx

Đổi cận x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0.

Lúc đó

Suy ra

Do đó

Cách 2: Chọn f(x) = 1 là một hàm thỏa các giả thiết.

Dễ dàng tính được

Câu 6: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên [–1; 1] và f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ. Biết và . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.

B.

C.

Lời giải

Chọn B.

Nhớ 2 tính chất sau để làm trắc nghiệm nhanh

Nếu hàm số f(x) ‘chẵn’ thì

Nếu hàm f(x) ‘lẻ’ thì

Nếu chứng minh thì như sau:

Đặt

. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx

Đổi cận

(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) (Do f(x) là hàm chẵn ⇒ f(–x) = f(x))

Vậy

Đặt

. Đặt t = –x ⇒ dt = –dx

Đổi cận:

(Do tích phân không phụ thuộc vào biến số tích phân) (Do f(x) là hàm chẵn ⇒ g(–x) = –g(x))

Vậy

Từ (1) và (2)

Chọn B.

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [–4; 4] biết và . Tính .

A. I = –10

B. I = –6

C. I = 6

D. I = 10

Lời giải

Chọn B.

Cách 1: Sử dụng công thức và tính chất với f (0) là hàm lẻ trên đoạn [–a; a].

Áp dụng ta có:

Suy ra:

Cách 2: Xét tích phân .

Đặt –x = t ⇒ dx = –dt.

Đổi cận: khi x = –2 thì t = 2; khi x = 0 thì t = 0 do đó

.

Do hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên f (–2x) = –f (2x).

Do đó

Xét

Đặt

Đổi cận: khi x = 1 thì t = 2; khi x = 2 thì t = 4 do đó

Do

Câu 8: Cho hàm số chẵn y = f(x) liên tục trên ℝ và . Giá trị của bằng:

A. 8

B. 2

C. 1

D. 16

Lời giải

Chọn D.

Ta có  (1)

Xét :

Đặt t = –x ⇒ dt = –dx. Đổi cận: x = –1 ⇒ t = 1 và x = 0 ⇒ t = 0. Khi đó

Vì y = f(x) là hàm số chẵn trên ℝ nên f (–2t) = f (2t), ∀t ∊ ℝ.

Do đó . Thay vào (1) thu được

Câu 9: Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn [–1; 1] và . Kết quả bằng

A. I = 1

B. I = 3

C. I = 2

D. I = 4

Lời giải

Chọn A.

Xét

Đặt x = –t ⇒ dx = –dt, đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0, x = –1 ⇒ t = 1

Lại có

Suy ra:

Câu 10: Cho y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên ℝ. Biết . Giá trị của bằng

A. 1

B. 6

C. 4

D. 3

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Sử dụng tính chất hàm số chẵn

Ta có: , với f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên [–a; a].

Áp dụng ta có:

Cách 2: Do và

Mặt khác và y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên ℝ ⇒ f (–x) = f(x) ∀x ∊ ℝ.

Xét . Đặt t = –x ⇒ dx = –dt.

Suy ra

Tích phân hàm ẩn đổi biến dạng 5

Lý thuyết & phương pháp

Bài toàn: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn g [f(x)] = x và g(t) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc nghịch biến) trên ℝ. Hãy tính tích phân ”

Cách giải:

Đặt y = f(x) ⇒ x = g(y) ⇒ dx = g’(y) dy

Đổi cận

Suy ra

Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f 3 (x) + f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính

A. I = 2

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Đặt y = f(x) ⇒ x = y3 + y ⇒ dx = (3y2 + 1) dy

Đổi cận

Khi đó ⇒ Đáp án D.

Câu 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn 2f 3 (x) – 3f 2 (x) + 6f(x) = x, ∀x ∊ ℝ. Tính tích phân .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Đặt y = f(x) ⇒ x = 2y3 – 3y2 + 6y ⇒ dx = 6 (y2 – y + 1) dy.

Đổi cận: với x = 0 ⇒ 2y3 – 3y2 + 6y = 0 ⇔ y = 0 và x = 5 ⇒ 2y3 – 3y2 + 6y = 5 ⇔ y = 1.

Khi đó .

Câu 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn x + f 3 (x) + 2f(x) = 1, ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Đặt y = f(x) ⇒ x = –y3 – 2y + 1 ⇒ dx = (–3y2 – 2) dy.

Đổi cận: Với x = –2 ⇒ –y3 – 2y + 1 = –2 ⇔ y = 1; x = 1 ⇒ –y3 – 2y + 1 = 1 ⇔ y = 0.

Khi đó

Dạng 3: Phương pháp từng phần

Lý thuyết & phương pháp

Tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau:

hoặc

Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn và 2f (1) – f (0) = 2. Tính .

A. I = 8

B. I = –8

C. I = 4

D. I = –4

Lời giải

Chọn B.

A = . Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx, dv = f’(x) dx chọn v = f(x)

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f (x3 + 3x + 1) = 3x + 2, ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B.

C.

D. –1761

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Từ , suy ra

Đặt

Đổi cận: Với t = 1 ⇒ 1 = x3 + 3x + 1 ⇔ x = 0 và t = 5 ⇒ x3 + 3x + 1 = 5 ⇔ x = 1.

Khi đó

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) với f (0) = f (1) = 1. Biết rằng , a, b ∊ ℝ. Giá trị của biểu thức a2019 + b2019 bằng

A. 22018 + 1

B. 2

C. 0

D. 22018 – 1

Lời giải

Chọn C.

Cách 1:

Ta có

Đặt u = f(x), dv = ex dx; ta có du = f’(x)dx, v = ex.

Khi đó

Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.

Do đó a2019 + b2019 = 12019 + (–1)2019 = 0.

Cách 2:

Ta có

Theo đề bài , a, b ∊ ℝ suy ra a = 1, b = –1.

Do đó a2019 + b2019 = 12019 + (–1)2019 = 0.

Câu 4: Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f’ (0). f’ (2) ≠ 0 và g(x) f’(x) = x (x – 2) ex. Tính giá trị của tích phân ?

A. –4

B. e – 2

C. 4

D. 2 – e

Lời giải

Chọn C.

Ta có: g(x) f’(x) = x (x – 2) ex ⇒ g (0) = g (2) = 0 (vì f’ (0). f’ (2) ≠ 0)

Câu 5: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn và . Tích phân bằng:

A. 4

B.

C.

D. 6

Lời giải

Chọn B.

Ta có: . Đặt

Câu 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn ; f (2) = 2. Tính .

A. I = –5

B. I = –10

C. I = 5

D. I = 10

Lời giải

Chọn B.

Xét

Đặt u = x và , ta được du = dx và

Vì

Đặt 2t = 2x – 4 ⇒ 2dt = 2dx ⇔ dt = dx

Đổi cận:

Vậy I = –10.

Trường hợp riêng:

Khi đề bài cho biết giá trị f(a), f(b), (với u(x) là một biểu thức chứa x đã tường minh), để tìm f(x) trước tiên ta đi tìm 2 số α, β sao cho , rồi suy ra f’(x) = – α. u(x) – β, sau đó nguyên hàm hai vế tìm f(x)

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0; 2], thỏa các điều kiện f (2) = 1 và . Giá trị của :

A. 1

B. 2

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Đặt

Ta lại có:

Do đó:

(Vì )

Vậy

Câu 8: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa mãn f (1) = 0, và . Tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

Mặt khác:

Khi đó:

Vì nên

Dấu “=” xảy ra

Khi đó:

Dạng 4: Phương trình vi phân tiếp tuyến cấp 1

Lý thuyết & phương pháp

Bài toán 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) + p(x). f(x) = h(x)

Tìm P(x) = ∫p(x)dx

Nhân hai vế với ta được

Lấy tích phân hai vế ta được f(x) ep(x) ∫q(x) ep(x)dx. Từ đó suy ra f(x).

Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) + f(x) = h(x)

Phương pháp

Nhân hai vế với ex ta được ex. f’(x) + ex. f(x) = ex. h(x) ⇔ [ex. f(x)]’ = ex. h(x)

Suy ra ex. f(x) = ∫ex. h(x)dx

Từ đây ta dễ dàng tính được f(x)

Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x) – f(x) = h(x)

Phương pháp

Nhân hai vế với e–x ta được e–x. f’(x) – e–x. f(x) = e–x. h(x) ⇔ [e–x. f(x)]’ = e–x. h(x)

Suy ra e–x. f(x) = ∫e–x. h(x)dx

Từ đây ta dễ dàng tính được f(x)

Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f (0) = 4 và f(x) + f’(x) = x3, ∀x ∊ ℝ. Giá trị của f (1) bằng

A.

B. –10

C. –2

D.

Lời giải

Chọn D.

Từ giả thiết ta ex. f(x) + ex. f’(x) = x3 ex ⇒ [ex. f(x)]’ = x3 ex ⇒ exf(x) = ∫x3exdx

⇒ exf(x) = x3 ex – 3∫x2exdx = x3ex – 3x2ex + 6∫xexdx = x3ex = 3x2ex + 6 (x – 1) ex + C

Lại có

Câu 2: Cho f(x) thỏa mãn và , ∀x ∊ ℝ. Tính .

A.

B. I = 2e – 1

C.

D. I = 2e + 1

Lời giải

Chọn C.

Ta có (e3xf(x))’ = e3x (f’(x) + 3x2f(x)) = e3x (15x4 + 12x) e–3x = 15x4 + 12x

Do đó: e3xf(x) = ∫ (15x4 + 12x) dx = 3x5 + 6x2 + C ⇒ f(x) = (3x5 + 6x2 + C) e–3x

Vì ⇒ C = 0 ⇒ f(x) = (3x5 + 6x2) e–3x

Khi đó

Câu 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai và liên tục trên ℝ thỏa mãn f’ (0) = f (0) = 1 và f(x) + 2 f’(x) + f’’(x) = x3 + 2x2, ∀x ∊ ℝ. Tích phân bằng

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Theo giả thiết ta có:

f(x) + f’(x) + (f’(x) + f’’(x)) = x3 + 2x2 ⇔ f(x) + f’(x) + (f(x) + f’(x))’ = x3 + 2x2

⇔ ex (f(x) + f’(x)) + ex (f(x) + f’(x))’ = ex (x3 + 2x2) ⇔ (ex (f(x) + f’(x))’ = ex (x3 + 2x2)

⇔ ex (f(x) + f’(x)) = ∫ex (x3 + 2x2) dx = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + C

Mặt khác f (0) = f’ (0) = 1 nên 1 + 1 = –2 + C ⇔ C = 4 ⇔ ex (f(x) + f’(x)) = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4

Do đó (exf(x))’ = ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4

⇒ exf(x) = ∫ [ex (x3 – x2 + 2x – 2) + 4] dx = ex (x3 – 4x2 + 10x – 12) + 4x + C

f (0) = 1 ⇔ C = 13 ⇔ f(x) = (4x + 13) e–x + x3 – 4x2 + 10x – 12

Câu 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1], f (0) = 1 và f’(x) = f(x) + ex + 1, ∀x ∊ [0; 1]. Tính

A. 2e – 1

B. 2 (e – 1)

C. 1 – e

D. 1 – 2e

Lời giải

Chọn B.

Ta có f’(x) = f(x) + ex + 1 ⇔ f’(x) – f(x) = ex + 1 ⇔ e–xf’(x) – e–xf(x) = 1 + e–x

⇔ [e–xf(x)]’ = 1 + e–x ⇒ e–xf(x) = x – e–x + C ⇒ f(x) = xex – 1 + Cex.

Do f (0) = 1 ⇒ C = 2 ⇒ f(x) = (x + 1) ex – 1.

Do đó

Câu 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f’(x) = f(x) + x2 ex + 1, với mọi x ∊ ℝ, f (0) = –1. Tính f (3)?

A. 6e3 + 3

B. 6e2 + 3

C. 3e2 – 1

D. 9e3 – 1

Lời giải

Chọn D.

Ta có: f’(x) – f(x) = x2 ex + 1 ⇔ e–xf’(x) = x2 + e–x ⇔ (e–x f(x))’ = x2 + e–x.

Do đó

Câu 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn , ∀x ∊ ℝ và f (1) = 4. Giá trị f (5) bằng

A. 3e12 – 1

B. 5e17

C. 5e17 – 1

D. 3e12

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Xét

Đặt

Câu 7: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f (1) = e và (x + 2) f(x) = x f’(x) – x3 với mọi x ∊ ℝ. Tính f (2).

A. 4e2 + 4e – 4

B. 4e2 – 2e – 4

C. 2e3 – 2e + 2

D. 4e2 – 4e + 2

Lời giải

Chọn A.

Biến đổi giả thiết

Mà

Vậy f (2) = –4 + 4e (e + 1) = 4e2 + 4e – 4.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có f’(x) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn . Khi đó

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

Nhân hai vế giả thiết với e3x ta được

Lấy tích phân từ 0 đếm 1 hai vế ta được

Câu 9: Trong những hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 3f(x) + x. f’(x) ≥ x2018. Giá trị nhỏ của là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

P(x) = 3ln x ⇒ eP(x) = x3.

Nhân hai vế của (*) cho x3 ta được x3f’(x) + 3x2f(x) ≥ x2019 ⇒ (x3f(x))’ ≥ x2020, đúng ∀x ∊ [0; 1]

Lấy tích phân từ 0 đến 2 vế có

Tài liệu tích phân hàm ẩn

Thông tin tài liệu
Tác giảThầy Đặng Việt Đông
Số trang57
Lời giải chi tiếtCó

Mục lục tài liệu

  • Dạng 1: Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp
  • Dạng 2: Phương pháp đổi biến (5 dạng)
  • Dạng 3: Phương pháp từng phần
  • Dạng 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 1

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 2

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 3

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 4

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 5

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 6

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 7

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 8

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 9

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 10

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 11

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 12

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 13

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 14

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 15

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 16

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 17

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 18

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 19

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 20

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 21

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 22

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 23

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 24

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 25

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 26

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 27

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 28

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 29

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 30

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 31

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 32

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 33

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 34

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 35

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 36

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 37

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 38

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 39

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 40

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 41

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 42

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 43

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 44

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 45

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 46

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 47

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 48

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 49

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 50

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 51

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 52

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 53

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 54

Các dạng toán tích phân hàm ẩn 55

Chương đề toán 12
  • Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
  • Tổng quan logarit
  • Công thức nguyên hàm
  • Số phức

Sidebar chính

Footer

Liên hệ

  • Mã giảm giá & khuyến mãi: Promo Codes

Giới thiệu

  • Giới thiệu
  • Chính sách
  • Điều khoản
  • Thông cáo báo chí

Copyright © 2019–2023 by VerbaLearn